Es lebe die Geometrie!

Kette aus Vereinigungen einer m-Zykloide mit einer -m-Zykloide

Unter einer 'vereinigten m-Zykloide' verstehen wir eine Kurve, die dadurch entsteht, dass nach dem
Durchlaufen einer m-Zykloide eine -m-Zykloide mit den gleichen Spitzen angeschlossen wird. Dabei
ist m eine natürliche Zahl. Als möglicher Funktionsterm ergibt sich in komplexer Schreibweise

.
Die Kurve erhält man als Spur eines Punktes am Rand eines Rades vom Radius 1, das erst außen
und dann innen an einem Kreis vom Radius m ohne zu Rutschen anrollt.
Der Graph von bzw. ist ein Kreis von Radius 1 mit dem
Mittelpunkt -i bzw. i. Bei fest vorgegebenem Wert von gehen die vereinigten Zykloiden mit der
Funktion für alle m durch den Kreispunkt und haben dort die
gleich Tangente. Wir bezeichnen den Einheitskreis um -i als 'Kontaktkurve'.

Diese vereinigten m-Zykloiden bilden insofern eine Kette, als es einen geometrischen Zusammenhang
zwischen vereinigten m- und m+1-Zykloiden gibt und auch zwischen vereinigten m- und m+2-Zykloiden.
Das soll im Folgenden dargestellt werden.

Die Animation zeigt den geometrischen Zusammenhang zwischen der vereinigten 1- und
2-Zykloide. Die vereinigte 2-Zykloide ist die hellblaue Nephroide, deren Spitzen geradlinig
durch die -2-Zykloide verbunden sind. Die vereinigte 1-Zykloide ist die dunkelblaue Kardioide
ohne eine Ergänzung, da die -1-Zykloide lediglich aus einem Punkt, nämlich der Spitze der
Kardioide besteht.

Der geometrische Zusammenhang wird durch folgenden Satz beschrieben:

m sei eine natürliche Zahl und W der hier schwarz gezeichnete Wälzpunkt im Ursprung des
Koordinatensystems, der zu der oben angegebenen vereinigten Zykloidenkette gehört. S sei eine
gemeinsame Spitze der m- und -m-Zykloide oder der m+1- und -(m+1)-Zykloide. Dann gilt:

S liegt auf dem Wälzkreis durch W mit dem Zentrum (0 ; m) bzw. (0 ; m+1) auf der Hochachse.
Außerdem liegt S auf der -(m+1)- bzw. m-Zykloide und die Verbindungsgerade SW mit dem
Wälzpunkt W ist orthogonal zur Tangente in S an die -m+1- bzw. m-Zykloide.

In der Animation liegt die Spitze der Kardioide also auf der Strecke, die die Spitzen der Nephroide
verbindet und jede Nephroiden-Spitze trifft die Kardioide in Punkten, deren Tangenten durch den
Punkt (0 ; 4) des Wälzkreises der Nephroide gehen. Die Winkel-Markierungen zeigen außerdem
einen Zusammenhang zwischen dem Richtungswinkel des gemeinsamen Punktes K auf der dick
pinkfarben gezeichneten Kontaktkurve und dem Richtungswinkel einer Spitze der Nephroide und
der Kardioide.

Diese Animation zeigt den geometrischen Zusammenhang zwischen der vereinigten 2-Zykloide
und der vereinigten 3-Zykloide, die sich aus einer 3-Zykloide und einer Steiner-Zykloide
zusammensetzt.

Hier geht es um die vereinigte 3-Zykloide und die vereinigte 4-Zykloide.

In der Animation wird der geometrische Zusammenhang zwischen einer vereinigten m-Zykloide
und einer m+2-Zykloide dargestellt. Dabei gilt folgender Satz:

m sei eine natürliche Zahl und W der hier schwarz gezeichnete Wälzpunkt im Ursprung des
Koordinatensystems, der zu der oben angegebenen vereinigten Zykloidenkette gehört. Dann
haben die Punkte für ganzzahliges n
folgende Eigenschaften:

Sie liegen auf dem Wälzkreis durch W mit dem Radius m+1 und dem Zentrum auf der Hochachse.
Und sie sind alle Berührpunkte der m- und der -(m+2)-Zykloide, deren Tangenten orthogonal zur
Verbindungsgeraden mit W sind. Wenn der Richtungswinkel der Geraden durch W und den
gemeinsamen Punkt K auf der Kontaktkurve ist, dann ist der Richtungswinkel der Geraden
gleich .