Es lebe die Geometrie!

Kachelungen im Kreis-Modell, die mit Nachbar-Bewegungen aus einem
Viereck mit der Signatur -3-4-1-2 oder -432-1 erzeugt werden

Bei der Signatur -3-4-1-2 sind alle Nachbar-Bewegungen Gleitspiegelungen, welche gegenüberliegende
Seiten aufeinander abbilden. Darum sind alle Kacheln punktsymmetrisch, folglich gegenüberliegende
Innenwinkel gleich groß. Die Ketten-Schemata für die Eckpunkte Nummer 3 und 4 sind
und
.
Damit es zu keinen Überlappungen bei der Kachelung kommt, muss es natürliche Zahlen m und k geben
mit und , folglich ist und .
Die Ketten-Schemata für die Eckpunkte Nummer 1 und 2 ergeben die gleichen Ecken-Bedingungen.
In der Animation wurde m = 2 und k = 3 gewählt und der Aufbau der Kränze mit den Nummer 1, 2 und
3 dargestellt. Es zeigt sich, dass am äußeren Rand jedes Kranzes in jedem Eckpunkt nur zwei Kacheln
zusammentreffen (anders als in der Regel bei Dreiecken) und darum dort die Kranz-Innenwinkel höchstens
die Größe 180° haben. Folglich ist die Vereinigung aller Kränze bis zu einer Nummer n stets konvex. Damit
kann begründet werden, dass es bei Gültigkeit der Ecken-Bedingungen zu keinen Überlappungen kommt.

Die Bilder 1 und 2 der Gleitschau sind eine Vervollständigung der Kachelung der Animation, in Bild 2
einschließlich der Achsen der Nachbar-Gleitspiegelungen. Diese Achsen verlaufen stets orthogonal zu den
zugehörigen Seiten und fädeln alternierend positiv und negativ orientierte Kacheln bis zu ihren Enden auf
dem Einheitskreis auf. Dabei geht in einer Richtung jede Kachel aus der verangehenden durch die gleiche
Gleitspiegelung hervor. In jeder Kachel schneiden sich zwei Achsen in ihrem Symmetrie-Punkt.

In Bild 3 wurde bei gleichen Innenwinkeln wie in den Bilder 1 und 2 eine Seitenlänge verändert, so dass
zwar die Punktsymmetrie erhalten blieb, aber nicht mehr alle Seiten gleich lang sind wie in den Bildern 1
und 2. Die Bilder 4 und 5 zeigen entsprechende Kachelungen für k = 4, die Bilder 6 und 7 für k = 5 und
die Bilder 8 und 9 für k = 6. In den Bildern 10 bis 15 werden Kachelungen zu m = 3 mit k = 2 oder
k = 3 dargestellt.

Bei der Signatur -432-1 gehen die Seiten 1 und 4 durch Gleitspiegelungen auseinander hervor und die
Seiten 2 und 3 durch Drehungen. Folglich ist jede Kachel achsensymmetrisch zur Diagonalen durch
die Ecken 4 und 2, so dass gilt. Es ergibt sich also ein hyperbolischer Drachen.
Die Kette-Schemata zu den Ecken mit der Nummer 4 und 2 sind

und .
Darum lauten die Ecken-Bedingungen: Es gibt natürliche Zahlen k und m mit und
.
Die Animation zeigt den Aufbau der Kränze mit den Nummern 1, 2 und 3 für k = 2 und m = 3 mit
. Bemerkenswert ist hier, dass an den Außenrändern der Kränze Kranz-Innenwinkel größer
als 180° vorkommen und zwar an 2, 8 bzw. 32 Ecken, so dass die Vereinigungen der Kränze nicht
konvex sind. An diesen Ecken treffen drei Kranz-Kacheln zusammen. Indem man die mittlere dieser
Kacheln im zweiten Kranz dem ersten zuschlägt, wird der so korrigierte Kranz konvex. Bei den
folgenden wäre dann analog zu verfahren.

Die Bilder 1 bis 4 zeigen die Vereinigung der drei Kränze in verschiedenen Färbungen mit und ohne
Gleitspiegelungs-Achsen. In Bild 4 sind die negativ orientierten Kacheln blau gezeichnet. Bild 5 zeigt
korrigierte Kränze. In Bild 6 und 7 wurde auf 85° erhöht.

Gegenüber der vorhergehenden Animation wurde hier k auf 3 erhöht. Die Vereinigung der zwei
aufgebauten Kränze ist ohne Korrektur ebenfalls nicht konvex. Die Bilder 3 und 4 der Gleitschau
zeigen dies auch für k = 4.