Es lebe die Geometrie!

Die Kardioide (Herzklurve)
(hier auch 1-Zykloide genannt)

Der dick gezeichnete Rastkreis hat im Folgenden stets den Radius 1.

Spur des 1-Gangkreises
Die Kardioide ist die Spur eines Punkte auf
dem Rand eines Gangkreises, der außen an
einem gleich großen Rastkreis ohne Rutschen
abrollt. Die Winkelgeschwindigkeit des kurzen
roten Pfeils ist doppelt so groß wie die des
langen. Darum ist die Winkelgeschwindigleit
des weiß gefüllten Pfeils in Tangentenrichtung
eineinhalb mal so groß wie die des langen. Wenn
bzw. der Richtungswinkel des kurzen bzw.
langen roten Pfeils ist, dann gilt
und für den Richtungswinkel des Spurpunkts
.

Spur des 2-Gangkreises
Die Kardioide ergibt sich auch als Spur eines
Gangkreises, der mit der Innenseite an einem
halb so großen Rastkreis abrollt. Darum liegt
der Brennpunkt F(1 ; 0) auf der Geraden durch
den langen roten Pfeil. Der blaue Gegenpunkt
des Spurpunktes liegt auch auf der Kardioide,
da er am Ort des roten Spurpunktes nach einer
Umdrehung des kleinen roten Pfeils liegt. Die
Kardioide ist die Lotfußpunktkurve der Lote
von F auf die Tangenten an den Kreis um den
Punkt (-1 ; 0) mit dem Radius 2.

Tangenten und Reflexion
Auf dem Rand des 2-Gangkreises spielt neben dem Spurpunkt P an der Spitze des langen Pfeiles der
zweite rote Punkt Q in Richtung des kurzen Pfeils eine Rolle. Er ist der Gegenpunkt vom Berührpunkt
des Gangkreises und liegt auf dem Kreis vom Radius 3 mit dem gleichen Zentrum wie der Rastkreis. Die
blauen orthogonalen Verbindungsgeraden von Q mit P und seinem blauen Gegenpunkt sind Tangenten der
Kardioide. Durch Q verläuft noch eine dritte Tangente, die mit der roten Ursprungsgeraden einen gleich
großen Winkel einschließt wie die Verbindungsgerade von Q mit dem grauen Punkt M(-3 ; 0), den wir als
Bogenmitte der Kardioide betrachten. Ein Lichtstrahl, der von M ausgehend am Kreis vom Radius 3
reflektiert wird, streift also nach der Reflexion die Kardioide. Dabei liegt der Berührpunkt auf der gelben
Parallelen durch den grünen Brennpunkt F zur Ursprungsgeraden durch Q. Der Winkel zwischen dem
reflektierten Strahl und der Halbgeraden QM ist im Betrag so groß wie der Richtungswinkel des kurzen
Pfeils, falls dieser kleiner als 180° ist. Die beiden schwarz markierten Winkel bei Q sind dann also halb
so groß.