Es lebe die Geometrie!

Seiten-Anzahlen in der de Bruijn-Kachelung

Am Ende der vorhergehenden Seite de Bruijn 1 wurde eine Penrose-Kachelung aus einer de Bruijn-
Kachelung ableitet, die durch fünf Zahlen bestimmt wurde, welche den signierten Abstand des
Ursprungs von den Geraden mit und als
Normalenvektor angibt. Dabei wurde jeder Kachel K der de Bruijn-Kachelung ein Eckpunkt der
Penrose-Kachelung durch zugeordnet mit einem
Vorzahlen-Tupel aus ganzen Zahlen. Am Schluss der Seite wurde nach
de Bruijn ein Kriterium zur Bestimmung von N bewiesen. Danach gehört N genau dann zu einem
Eckpunkt der Penrose-Kachelung, wenn die Vektorsumme
zu einem Punkt gehört, der im Innern eines gewissen regulären Fünfecks liegt. Dieses Fünfeck hängt von
der Summe der Komponenten von N ab, die als Index (abgekürtzt ind) bezeichnet wird. ind ist stets eine
der Zahlen 1, 2, 3 oder 4. Der Vektor ist Ortsvektor des
Mittelpunkt der vier Fünfecke zu den Indizes 1, 2, 3 und 4. sei das Fünfeck mit dem Mittelpunkt im
Ursprung, dessen Eckpunkte die Vektoren als Ortsvektoren haben, und sei das Fünfeck mit der
Summe von zwei dieser Vektoren als Eckpunkt-Vektoren, die zyklisch aufeinander folgen.
und entstehen daraus durch Punktspiegelung am Ursprung. Die Streckung mit dem
Ursprung als Zentrum und der großen goldenen Zahl als Faktor bildet in und
in ab. Die oben genannten Fünfecke, die beim Testen der 5-Tupel N benutzt werden können, sind
die Fünfecke , , und , die aus den Fünfecken durch Verschiebung mit
dem Vektor entstehen.

Diese Fünfecke können in Teil-Polygone zerlegt werden, in denen die Punkte Pen2(K) zu
Kacheln K mit bestimmten Anzahlen von Seiten gehören. Das soll auf dieser Seite dargestellt werden.

Diese Animation zeigt das Fünfeck mit dunkelblauem Rand und das Fünfeck mit
hellblauem Rand vor einer deBruijn-Kachelung. Das gemeinsame Koordinatensystem der beiden
Fünfecke unterscheidet sich von dem der Kachelung. Auf einer Spirale bewegt sich ein dunkelblauer
Punkt, den man sich als Bildpunkt Pen2(K) einer Kachel K der de Bruijn-Kachelung mit dem Index
Eins vorstellen sollte. Dabei ist allerdings zu bedenken, dass die abzählbar vielen Bildpunkte der
Abbildung Pen2 das Innere der Fünfecke nicht vollständig ausfüllen können. Die Kachel K kann
3, 4 oder 5 Seiten haben. Diese Seiten grenzen alle an Nachbar-Kacheln mit dem Index 2. Da
dieser Index größer als 1 ist, werden die Seiten Plus-Seiten genannt. Als 'Außen-Vektor' von K
bezeichnen wir einen Einheitsvektor, der senkrecht zu einer Seite nach außen zeigt. Für Kacheln
vom Index 1 ist jeder Außen-Vektor einer der oben genannten Vektoren . Wenn man von K
in Richtung zu der Nachbar-Kachel K1 gelangt, dann ist der Verbindungsvektor von Pen2(K)
und Pen2(K1) der Vektor . Der Index ist hierbei der ganzzahlige Rest bei
Division von durch 5, für k = 3 also zum Beispiel 1. Auf der Menge der Zahlen
hat die Abbildung die Umkehr-Abbildung .

An den dunkelblauen Punkt Pen2(K), der sich auf der Spirale bewegt, sind sternförmig fünf Strecken
mit den Richtungswinkeln der Vektoren geheftet. Diese Strecken haben die Länge 1. Ihre
Endpunkte sind hellblau markiert, da diese möglicherweise zu einer Nachbar-Kachel von K zum Index
2 gehört. Das kann aber nach dem auf der vorherigen Seite bewiesenem Satz nur dann der Fall sein,
wenn der Endpunkt innerhalb des hellblau berandeten Fünfecks liegt. Wenn dies der Fall ist,
werden Strecke und Endpunkt in satter Farbe gezeichnet, andernfalls weiß verhüllt. Die Farbe der
Strecken ist hauptsächlich die, welche zu dem Richtungswinkel gehört, also grau zu 0°, dunkelblau
zu 72°, hellblau zu 144°, gelbgrau zu 216° und rot zu 288°. Im mittleren Teil ist aber die Farbe zur
Richtung angegeben, in der man in der de Bruijn-Kachelung von K zu der Nachbar-Kachel K1 gelangt,
die im Fall einer satten Färbung zum Strecken-Endpunkt Pen2(K1) gehört.

Die Bewegung von Pen2(K) auf der Spirale verdeutlicht die Teilbereiche des dunkelblau berandeten
Fünfecks, die zu Kacheln vom Index 1 mit 5, 4 und 3 Seiten gehören. Bei jeder Kreuzung einer
Diagonalen ändert sich die Seitenzahl. Die Gleitschau zeigt im Anschluss an die Animation Standbilder
daraus. Die daran anschließenden neun Bilder verdeutlichen den Zusammenhang zwischen den
Pen2-Bildern, den zugehörigen Kacheln und deren Pen-Bilder für Kacheln vom Index 1. Die letzten
neun Bilder der Gleitschau leisten das Entsprechende für den Index 4. Dabei beziehen sich immer
drei aufeinander folgende Bilder auf die gleiche Seiten-Anzahl 3, 4 oder 5. Das erste Bild eines dieser
Tripel zeigt das stets gleiche Pentagrid, in dem Kacheln mit dem gleichen Index und der gleichen Seiten-
Anzahl farbig markiert sind und ein weißer Pfeil die Zuordnung zum Pen2-Bild herstellt. Die Zahlenfolge
oben rechts gibt die Normalen-Richtungen der Seiten an. Dabei ist jede dieser Zahlen k aber nicht mit
72° zu multiplizieren, sondern mit 36°, weil in der folgenden Gleitschau auch die Gegenrichtungen der
Vektoren berücksichtigt werden müssen. Das zweite Bild eines Tripels wiederholt das erste ohne
Pfeil-Zuordnung. Das dritte Bild zeigt die zur de Bruijn-Kachelung zugehörige Penrose-Kachelung mit
einem weißen Pfeil, der dem Zentrum Pen(K) einer Boot-, Kronen- oder Stern-Kachel den Punkt
Pen2(K) zuordnet.

Diese Animation entspricht der vorherigen, wobei hier der Index 2 statt 1 ist. Da Kacheln vom
Index 2 nicht nur Plus-Seiten haben, sondern auch Minus-Seiten, bei denen der Index abnimmt,
müssen nicht nur die Richtungen zu 0°, 72°, 144°, 216° und 288° berücksichtigt werden, sondern
auch deren Gegen-Richtungen. Darum sind hier an den hellblauen Punkt, der sich auf einer Spirale
bewegt, zehn Strecken angeheftet, fünf mit einem gelben Endpunkt zum Index 3 und fünf zu einem
dunkelblauen Endpunkt zum Index 1. Falls der hellblaue Punkt ein Pen2-Bild ist, gilt dies auch für
einen gelben Endpunkt genau dann, wenn er im Innern des gelb berandeten Fünfecks liegt.
Entsprechend ist ein dunkelblauer Endpunkt Pen2-Bild, wenn er zum Innern des Fünfecks
mit dunkelblauem Rand gehört. Daraus ergibt sich, welche der Strecken in satter Farbe gezeichnet
werden und welche weiß verhüllt sind.

Es zeigt sich, dass für Kacheln K vom Index 2 mit fünf Plus-Seiten die Pen2-Bilder alle in dem
Fünfeck FD liegen, das von den Diagonalen des Rand-Fünfecks gebildet wird, wobei neben den
fünf Plus-Seiten bei K höchstens zwei Minus-Seiten vorkommen können. Das Fünfeck FD
entsteht aus dem dunkelblau berandeten Fünfeck durch Streckung mit der großen goldenen
Zahl als Faktor und aus dem rot berandeten Fünfeck durch Streckung
mit dem Faktor . Dabei geht das Teil-Polygon zur Eckenzahl 3 bzw. 4 bzw. 5 in ein ähnliches
Polygon zur Eckenzahl 7 bzw. 6 bzw. 5 über. Die Pen2-Bilder der Kacheln vom Index 2 mit weniger
als fünf Plus-Seiten liegen alle außerhalb von FD, und diese Kacheln können nur fünf oder drei Seiten
haben, die nicht alle Plus-Seiten, aber auch nicht alle Minus-Seiten sind. Bei Kacheln vom Index 3 ist
die Rolle von Minus- und Plus-Seiten vertauscht.