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Monge

Geometrie 1 > Tetraeder

Der Monge-Punkt eines Tetraeders

Unter einem Tetraeder verstehen wir ein Viereck
ABCD des dreidimensionalen euklidischen Raums mit
Eckpunkte, die nicht alle in der gleichen Ebene liegen. Die Längen der Kanten des Dreiecks
ABC
bezeichnen wir wie üblich mit a, b und c, so dass also a die Länge der Strecke BC ist. Die Längen der
Strecken
AD, BD und CD bezeichnen wir mit as (oder a'), bs (oder b') und cs (oder c'). Dies sind die
'Gegen-Kanten' zu a, b bzw. c, weil sie keine gemeinsamen Endpunkte mit
AB, BC bzw. CA haben.
Unter der 'Gegen-Seite' eines Eckpunktes verstehen wir das Dreieck aus den drei übrigen Eckpunkten,
zu
A also z. B. das Dreieck BDC.

Ähnlich wie für Dreiecke findet man beim Tetraeder ausgezeichnete Punkte, in denen sich besondere Raum-
Geraden treffen, die zu dem Tetraeder definiert werden. Einige Standard-Sätze der Dreiecks-Geometrie
lassen sich dabei direkt übertragen, bei anderen gelingt dies nur unter einschränkenden Voraussetzungen
für das Teraeder. Beim Dreieck treffen sich zum Beispiel die drei Verbindungs-Geraden der Eckpunkte
mit den Mitten der gegenüberliegenden Seiten im Schwerpunkt des Dreiecks. Analog treffen sich die
Verbindungs-Geraden der Eckpunkte jedes Tetraeders mit den Schwerpunkten der Gegen-Seiten im
Schwerpunkt S des Tetraeders.

Anders ist die Lage bei den Raum-Höhen des Tetraeders. Unter einer 'Raum-Höhe' zu z. B.
A verstehen wir
die Gerade durch
A, die euklidisch orthogonal zur Ebene der Gegen-Seite BDC ist. Während die jeweils
drei 'Flächen-Höhen' in den Seiten-Dreiecken
BDC, CDA, ABD und ABC. das 'Ortho-Zentrum' des Seiten-
Dreiecks gemeinsam haben, gilt die entsprechende Aussage für die Raum-Höhen nur dann, wenn jede
Kanten-Gerade zu der Gerade der Gegen-Kante orthogonal ist. Diese Tetraeder heißen 'orthozentrisch'.

Der im Folgenden dargestellte Monge-Punkt fällt für orthozentrische Tetraeder mit dessen Ortho-Zentrum
zusammen, wurde aber durch den Entdecker Gaspard Monge(1746-1818) für beliebige Tetraeder
definiert. Es ist nämlich der gemeinsame Punkt der sechs Mittel-Ebenen des Tetraeeders. Unter der
'Mittel-Ebene' z. B. der Kante
AB verstehen wir die Ebene durch den Mittelpunkt von AB, die orthogonal
zur Gegen-Kante
CD ist.


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Die Euler-Gerade eines Dreiecks inzidiert mit seinem Umkreis-Zentrum, seinem Schwerpunkt und
seinem Ortho-Zentrum. Dabei liegt der Schwerpunkt bei 1/3 des Wegs vom Umkreis-Zentrum zum
Ortho-Zentrum. Der Mittelpunkt zwischen Umkreis-Zentrum und Ortho-Zentrum ist das Zentrum des
Neun-Punkte-Kreises (Feuerbach-Kreises), auf dem die Seiten-Mitten, die Höhen-Fußpunkte und
die Euler-Punkte (Mittel-Punkte zwischen den Eck-Punkten und dem Ortho-Zentrum) liegen. In den
Bildern der Animation sind das Umkreis-Zentrum, der Schwerpunkt, das Neun-Punkte-Zentrum und
das Ortho-Zentrum in dem Dreieck unten rechts weiß-gefüllt, schwarz, grau bzw.magentafarben
eingezeichnet. Dem entsprechen im Tetraeder
ABCD das weiß-gefülltes Umkugel-Zentrum O, der
schwarze Schwerpunkt S, das graue Zentrum N der Zwölf-Punkte-Kugel und der magentafarbene
Monge-Punkt M .

Im ersten Teil der Animation wird das Tetraeder
ABCD durch Streckungen mit dem Schwerpunkt als
Zentrum abgebildet, und auch das dazu analoge Dreieck unten rechts. Dabei wandert das weiß-gefüllte
Umkugel-Zentrum Z des Bild-Tetraeders von O nach M. Das im Analogie-Dreieck entsprechende
Umkreis-Zentrum vom Bild-Dreieck bewegt sich dabei bis zum Ortho-Zentrum.. Der Streckungs-Faktor
f wird beginnend bei f = 1 beim Analogie-Dreieck bis -2 und beim Tetraeder bis -1 vermindert. Dabei
ist bemerkenswert, dass sich bei der Euler-Geraden des Tetraeders die Verhätnisse der Abstände
umgedreht haben, denn hier ist S der Mittelpunkt von O und M, und N liegt bei 1/3 des Wegs von M
nach O. Während die Geschwindigkeit von Z konstant ist, bewegt sich darum der weiße Punkt beim
Analogie-Dreieck hinter dem Schwerpunkt mit um die Hälfte vergrößerter Geschwindigkeit.

Z erreicht S für f = 0. Dann ist das Bild-Tetraeder und das Bild-Dreieck zu einem Punkt geschrumpft.
In diesem Zustand werden dem Tetreder
ABCD die Schwerpunkte der Seiten-Dreiecke zugefügt,
zusammen mit den zugehörigen Verbindungs-Strecken.

Z kommt bei N für f = -1/3 an. Im Analogie-Dreieck wird gleichzeitig das Neun-Punkte-Zentrum für den
Streckungs-Faktor -1/2 erreicht. Dann trifft das Bild-Dreieck mit seinen Eck-Punkten die Seiten-Mitten des
Analogie-Dreiecks und das Bild-Tetreder mit seien Eck-Punkten die Schwerpunkte der Seiten-Dreiecke.
Die zugehörige Umkugel ist die Zwölf-Punkte-Kugel. Sie wird durch die sechs Groß-Kreise durch jeweils
zwei Eck-Punkte angedeutet.

Z erreicht M für f = -1. Die Streckung ist dann eine Punkt-Spiegelung an S, so dass das Bild-Tetreder den
gleichen Umkugel-Radius 0,75 wie
ABCD hat. Jede Kanten-Mitte des Bild-Tetraeders trifft auf eine Kanten-
Mitte von
ABCD, während das Bild des Analogie-Dreiecks dessen Eck-Punkte mit den Seiten-Mitten trifft,
wobei des Streckungs-Faktor -2 ist und der Umkreis-Radius doppelt so groß.

In der Animation zeigen die folgenden sieben Stand-Bilder die Bedeutung des Monge-Punktes M und der
Zwölf-Punkte-Kugel. Die Punkte auf 1/3 des Wegs von M zu den Eckpunkten des Tetraeders
ABCD
liegen auf der Zwölf-Punkte-Kugel. Sie entsprechen den Euler-Punkten beim Analogie-Dreieck, da diese
auf 1/2 des Wegs vom Ortho-Zentrum zu den Eckpunkten liegen. Sie werden darum ebenfalls als 'Euler-
Punkte' bezeichnet. Die Fuß-Punkte der Lote von diesen Euler-Punkten auf die gegenüberliegenden
Seiten-Dreiecke sind ebenfalls Punkte der Zwölf-Punkte-Kugel. Sie entsprechen beim Analogie-Dreieck
den Höhen-Fußpunkten.

Jeder Fuß-Punkt des Lots von einem Euler-Punkt auf das gegenüberliegende Seiten-Dreieck liegt auf 1/3
des Wegs vom entsprechenden Fuß-Punkt zu M zum Fuß-Punkt des Lots vom gleichfarbigen Eck-Punkt
auf dessen Gegen-Seite. Die Geraden dieser letztgenannten Lote betrachten wir als Raum-Höhen des
Tetraeders. Die Zeichnung mit diesen Loten und den Loten zu M und den Euler-Punkten wird im letzten
Teil der Animatiuon um 360° gedreht, um zu verdeutlichen, dass die Raum-Höhen hier keinen gemeinsamen
Punkt haben.



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Diese Gleitschau zeigt die definierende Eigenschaft des Monge-Punktes M nach seinem Entdecker.
Jedes der sechs farbig gezeichneten Dreiecke hat M und die Mitte einer Kante als Eck-Punkt.
Die Lote von diesen beiden Eck-Punkten auf die Gegen-Kante haben den gleichen Fuß-Punkt,
so dass die Ebene des Dreieck eine Mittel-Ebene ist.

M ist Umkugel-Zentrum des Tetraeders
A'B'C'D' , das sich bei Spiegelung von ABCD an S ergibt.
Die Ebene E durch M, die orthogonal zu z. B.
A'B' ist, trifft den Mittel-Punkt von A'B', der auch
der Mittel-Punkt von
CD ist, da S Mittel-Punkt der Kanten-Mitten gegenüberliegender Kanten ist.
E ist außerdem orthogonal zu
AB, da die Spiegelung jede Gerade in eine dazu parallele abbildet.


Zur Berechnung von O, S, N und M in baryzentrischen Koordinaten :

In den vorangehenden Bildern sind die Eckpunkte des Tetraeders ABCD in kartesichen Koordinaten
angegeben, also bei einem Koordinatensystem mit drei Achse, die paarweise euklidisch orthogonal
sind und bei denen die Punkte (1;0;0), (0;1;0) und (0;0;1) den euklidischen Abstand 1 vom Ursprung
(0;0;0) haben. Bei Verwendung von baryzentrischen Koordinaten (Schwerpunkts-Koordinaten) mit dem
Basis-Tetraeder
ABCD wird dagegen jeder Punkt P des dreidimensionalen affinen Raums als
Linearkombination mit der Neben-Bedingung dargestellt,
wobei a, b, c und d die kartesischen Koordinaten-Tripel von
A, B, C und D sind. Das Quadrupel
ist dann das 'normierte baryzentrische Koordinaten-Quadrupel' zu P. Wenn man es mit einer
Zahl ungleich 1 oder 0 multipliziert, wird es 'unnormiertes' baryzentrische Koordinaten-Quadrupel genannt.
Da zum Beispiel für den Schwerpunkt S von
ABCD gilt, ist .
Der Vorteil dieser Koordinaten besteht darin, dass sie wie beim Schwerpunkt zum Teil einfacher sind als
die kartesischen Koordinaten, oder darin, dass damit ausgezeichneten Punkten von
ABCD geometrische
Größen zuordnen werden können. Das unnormierte baryzentrische Quadrupel aus den Größen der Seiten-
Flächen von
ABCD gehört z. B. zum Inkugel-Zentrum von ABCD. Außerdem: Ein Punkt P liegt genau
dann im Innern von
ABCD, wenn seine baryzentischen Koordinaten alle positiv sind.

Die Berechnung der baryzentrische Quadrupel wird folgendermaßen erleichtert: Wir verstehen unter
, , , und die Quadrupel, die sich ergeben, wenn man die kartesischen Koordinaten-Tripel
p, a, b, c und d von P,
A, B, C und D um die vierte Koordinate 1 zu einem Quadrupel erweitert. sei
die Basis-Matrix mit den Quadrupeln von
A, B, C und D als Zeilen. Dann ist baryzentrisches
Koordinaten-Quadrupel von P. (Dabei dient der tiefgestellte Punkt als Verknüpfungs-Zeichen für die
Matrix-Multiplikation und das Quadrupel wird als Matrix mit nur einer zeile betrachtet.) Eine normierte
Form ergibt sich dadurch, dass man die Komponenten von durch deren Summe teilt.

Wenn ein Tripel v reeller Zahlen um die vierte Koordinate 0 ergänzt wird, gibt das so entstandene
Quadrupel einen Punkt V der zum affinen Raum gehörenden 'unendlich fernen' Ebene des projektiven
Raums an. Dabei beschreibt jedes Quadrupel den gleichen Punkt, das sich aus durch Multiplikation der
Komponenten mit der gleichen Zahl ungleich Null ergibt. ist dann das zugehörige baryzentrische
Quadrupel. Es ist nicht normierbar, weil die Summe der Komponenten Null ist. Die Menge dieser Quadrupel
bezeichnen wir mit U, weil sie Punkte der
unendlich fernen Ebene beschreiben. Die Differenz
zweier
normierter baryzentrischer Quadrupel zu affinen Punkten P und Q nennen wir 'u-Vektor' und
bezeichnen sie mit . Wir können es als Verbindungs-Vektor von P und Q oder als baryzentrisches
Quadrupel des unendlich fernen Punktes auf der Geraden PQ ansehen.

In kartesischen Koordinaten ist das innere Produkt zweier Verbindungs-Vektoren
und durch bestimmt. Es sei
, , die Spalte, die durch Transponieren der Zeile entsteht und
,
wobei a, b, c, as, bs und cs die oben definierten Kantenlängen von
ABCD sind.
Dann ist .
Wir definieren darum im Einklang mit den kartesischen Koordinaten .



Die Cayley-Menger-Matrix wurde vom 20jährigen Arthur Cayley
(1821-1895) zur Berechnung des Volumens eines Tetraeders aus den Kantenlängen
eingeführt, was in anderer Form schon dem Maler Piero della Francesca (ca. 1415-1492) gelungen war.
C ist wie G symmetrisch zur Haupt-Diagonalen von links oben nach rechts unten, in der nur Nullen stehen.




Die ersten vier Komponenten in der fünften Zeile der inversen Matrix von C ergeben das normierte
baryzentrische Quadrupel des Umkugel-Zentrums O und die fünfte ist , wobei R der
Umkugel-Radius ist. Man erkennt, wie aus der 1. Komponente die folgenden entstehen, nämlich an den
Kanten-Längen der Gegen-Seite des i-ten Eckpunkts: .





Die Formel für den Radius zeigt wegen der Form von det(G) eine Ähnlichkeit mit der entsprechenden Formel
für den Umkreis-Radius eines Dreiecks, die sich mit Hilfe der Gleichung von Heron (1. Jahrhundert) ergibt:

Ein Punkt mit dem baryzentrischen Quadrupel liegt genau dann auf der Umkugel, wenn
. Dies ist äquivalent mit .

Für Punkt-Quadrupel beschreibt die Abbildung die Streckung mit dem Zentrum S und
dem Streckungs-Faktor f . Für und bzw. ergeben sich die baryzentrischen Quadrupel
von N und M, nämlich und .

Es sei die reduzierte Matrix, die entsteht, wenn man bei die letzte Zeile und die letzte Spalte weglässt.
sei die Matrix mit lauter Einsen in der Haupt-Diagonalen und sonst nur Nullen.
Die Matrix hat dann folgende bemerkenswerte Eigenschaften:

H ist wie G symmetrisch zur Haupt-Diagonalen, hat aber anders als G die Determinante Null.
H.G.H = H, also auch .
Alle Zeilen von H sind u-Vektoren.
Für jeden u-Vektor v gilt v.G.H = v (aber nicht v.H.G = v ).
Die i-Zeile oder Spalte von H ist euklidisch orthogonal zur i-ten Seiten-Fläche von
ABCD.
Die mit berechnete Länge des u-Vektors in der i-ten Zeile von H ist der Kehrwert der
i-ten Höhen-Länge . Das ist der Quotient aus dem Inhalt der i-ten Seitenfläche und dem dreifachen
Tetraeder-Volumen.
Die Komponente in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von H ist das Matrix-Produkt .
Dies ist das Produkt aus den Längen von und und dem Kosinus des Winkels dazwischen.

Die i-te Zeile von G.H ist der Verbindungs-Vektor des Umkugel-Zentrums mit dem i-ten Eckpunkt.

Die Komponente in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von G.H.G ist .
Dies ist das Produkt des Quadrats vom Radius R der Umkugel mit dem Kosinus des Winkels
zwischen
und . In der Haupt-Diagonalen von G.H.G steht also in jeder Zeile .

Um die Komponenten der Matrix H übersichtlich zu beschreiben,
betrachten wir die Tripel der Kantenlängen-Quadrate der i-ten Seitenfläche :
, , , .
Zu jedem dieser Tripel definieren wir vier Typen von Tripel, die
wir mit den Hoch-Zeichen abc, bac, cba und acb markieren:




und anlog für die andern drei Kanten-Tripel. Dann gilt bei
Verwendung des inneren Produkts für euklidische Tripel:



Das kartesische Koordinaten-Quadrupel einer Ebene E im dreidimensionalen
euklidischen Raum setzt sich aus einem Normalen-Vektor senkrecht zu E und einer
vierten Komponente zusammen, die den Abstand vom Ursprung bestimmt. Ein Punkt P inzidiert mit E,
wenn für sein kartesisches Koordinaten-Quadrupel gilt:
.
Baryzentrische Ebenen-Quadrupel berechnet man mit Hilfe der Matrix , die dadurch entsteht,
dass die Basis-Matrix an der Haupt-Diagonalen gespiegelt wird. Es sei nämlich .
Dann inzidiert E mit P genau dann, wenn .

Ebenen D und E sind euklidisch orthogonal, wenn für ihre kartesischen Koordinaten-Quadrupel
d und e gilt: . Das innere Produkt, das sich daraus
für die baryzentrischen Ebenen-Quadrupel ergibt, hat nicht diese einfache Form, erleichtert es aber,
geometrische Bezüge herzustellen. Es ist nämlich . Analog wie bei den u-Vektoren
definieren wir darum .






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