Es lebe die Geometrie!

Qutb al-Din und die Fourier-Analyse

Der persische Naturforscher Qutb al-Din al-Shirazi (1236-1311) betrachtete es (wie auch andere
Astronomen, z. B. Al-Tusi und Kopernikus) als eine Schwäche des Modells der Planetenbewegungen
von Ptolemäus, dass die von ihm benutzten Kreisbewegungen nicht alle gleichförmig waren. Um diesen
Mangel zu beheben, wurde von Al-Tusi das Tusi-Paar eingeführt, mit dem man die Kosinus-Schwingung
als Überlagerung zweier gegenläufiger gleichförmiger Kreisbewegungen darstellen kann. Qutb al-Din ist
es nach [1] gelungen, eine sehr gute Approximation für die Bewegung des Epizykelzentrums nach dem
Ptolemäus-Modell für den Planeten Merkur zu finden. Er benutzte sechs Überlagerungen von
gleichförmigen Kreisbewegungen, deren Winkelgeschwindigkeit alle ganzzahlige Vielfache von
sind. Die Anzahl lässt sich auf vier Kreisbewegungen reduzieren. Dennoch ist diese Anzahl im Rahmen der
mittelalterlichen Epizykeltheorie ungewöhnlich hoch und die damit erreichte Näherung ungewöhnlich gut.


Die Bahnkurve, die approximiert werden sollte, kann mit heutigen mathematischen Methoden
folgendermaßen beschrieben werden: Es sei e eine Zahl zwischen 0 und 0,5 , M eine Winkelgröße im
Bogenmaß , , .und .
Dann ist die Bewegung des Epizykelzentrums beim Merkur nach Ptolemäus durch die Funktion
gegeben, also in komplexer Schreibweise durch
. Die Bahnkurve ist achsensymmetrisch. Die Schnittpunkte der Bahnkurve mit der
Symmetrieschse haben von ihrem Mittelpunkt Z = (0;0) den Abstand 1+e. Auf der Symmetrieachse
liegt nach Ptolemäus das Zentrum der Welt im Abstand 2e von Z, und in der Mitte dazwischen der
Äquant. e wird auch als Exzentrizität bezeichnet, hat aber wenig mit der Exzentrizität der Ellipsenbahn
des Merkur zu tun. Der von Ptolemäus angegebene Wert ist e = 0,05 [2].
Qutb al-Din approximiert die Bahnkurve durch die Funktion .
Für e = 0,05 ist die Approximation so gut, dass die Abweichung von den mit der Fourier-Analyse
berechneten Koeffizienten höchstens 2,5% beträgt.

[1] Kennedy, E.S., Late Medieval Planetary Theory, Isis, Vol. 57, No.3 ,
The University of Chicago Press 1966
[2] Toomer, G.J., Ptolemy`s Almagest, Princeton University Press, Princeton 1998

Bewegung des Epizykelzentrums nach Ptolemäus für e = 0,2
zusammen mit der Approximationskurve nach Qutb al-Din
mit Pfeilen zu den Nummern 0, 1, -1, 2 und 3
(Der Wert e = 0,2 spielt bei Ptolemäus keine Rolle.
Er dient hier dazu, Abweichungen deutlicher zu machen.)
Der rote Punkt links vom Zentrum ist der Äquant.

Bewegung des Epizykelzentrums beim Merkur nach Ptolemäus für e = 0,05
zusammen mit der Approximationskurve nach Qutb al-Din
mit Pfeilen zu den Nummern 0, 1, -1, 2 und 3
e = 0,05 ist der von Ptolemäus für den Merkur angegeben Messwert
Der rote Punkt links vom Zentrum ist der Äquant.