Es lebe die Geometrie!

Billard an Kurven mit konstantem Sehwinkel

Die roten Billard-Kurven auf dieser Seite haben die Eigenschaft, dass sich von jedem Punkt des hellblauen
Einheitskreises zwei Tangente an die Billard-Kurve legen lassen, die einen Winkel einschließen, der für alle
Punkte des Kreises gleich groß ist. Die mit dünnen blauen Strich gezeichneten Billard-Trajektorien sind
geschlossenen Streckenzüge aus 2n Strecken, deren Eckpunkte auf der Billard-Kurve liegen und deren
Strecken dort wie bei einer Reflexion umgelenkt werden. Die mit dickem Strich gezeichneten blauen
Kurven sind die Enveloppen (Hüllkurven) dieser Trajektorien. Jede Trajektorien-Strecke liegt also auf
einer Tangente dieser Enveloppe.

Siehe dazu die Pdf-Datei ' Das Arnoldsche Problem'.

In den drei Perioden dieser Animation sind die Sehwinkel 90°, 120° und 135° groß. Die roten Billard-
Kurven entstehen als Enveloppe der grauen geschlossenen Streckenzüge mit Eckpunkten auf dem
hellblauen Einheitskreis. Die Innenwinkel dieser Streckenzüge sind die Sehwinkel. Ihre Eckpunkte
bewegen sich auf dem Einheitskreis mit einer Geschwindigkeit , die jedem
Kreispunkt fest zugeordnet ist. Dabei ist n gleich 2 bzw. 3 bzw. 4. Die Vektoren
der Geschwindigkeit in drei aufeinander folgenden Eckpunkten sind als hellgrün berandete Pfeile
eingezeichnet. Die Zeit T für einen vollen Umlauf ist dann für alle Eckpunkte gleich. In jedem Augenblick
sind die Eckpunkte so angeordnet, dass die Zeit für den Weg von einem Eckpunkt zum nächsten gleich
ist. Daraus folgt dann für die rote Enveloppe der konstante Sehwinkel .

Die roten Berührpunkte des grauen Streckenzugs sind die Eckpunkte der blauen Billard-Trajektorie mit
der Periode 2n. Diese Berührpunkte teilen die grauen Strecken im Verhältnis der Geschwindigkeiten in
ihren Endpunkte. Das folgt daraus, dass Kreissehnen in den Endpunkten einen gleich großen Winkel mit
dem Kreis einschließen. Die Geschwindigkeiten auf dem Einheitskreis legen die Geschwindigkeiten auf der
Billard-Kurve fest, die durch die gelben Pfeile dargestellt werden. Diese bestimmen ihrerseits die Lage der
Punkte, in denen die Billard-Trajektorien ihre (dick blau gezeichnete) Trajektorie berühren.

Für n = 2 ergibt sich eine Ellipse als Billard-Kurve. In diesem Fall ist proportional zum Produkt der
Quadrate der Abstände des Punktes von den Punkten . Die gleiche
Billard-Kurve ergibt sich, wenn proportional zum Produkt der Abstände (nicht der Quadrate!) von
den Ellipsen-Brennpunkten ist. Ähnliches gilt auch für die Kurven zu n -Werten größer als 2.
Für diese Kurven scheint es aber keine Invariante zu geben, die der Gleichheit der Abstandssumme der
Ellipsen-Punkte von den Brennpunkten entspricht.

In den zwei Perioden der Animation wurden den Kreispunkten die Geschwindigkeit
bzw. zugeordnet. Wenn T die Zeit für einen Umlauf auf
dem Kreis bezeichnet, gibt 0,3T die Zeit für einen Eckpunkt des grauen Streckenzugs zum nächsten an.
Die rote Billard-Kurve ist in der ersten Periode konvex, in der zweiten aber nicht.