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Clifford-Parallelismus

Geometrie 1 > elliptische Raumgeraden

Clifford-Parallelismus

-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum I'
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_I.pdf

Auf der vorhergehenden Seite ' Schraubungen' wurde die Clifford-Translation zur Erzeugung der Regulus-
Geraden eines einschaligen Hyperboloids benutzt. Wir nennen die roten Geraden des einen Regulusses
Clifford-links-parallel (kurz: CL-parallel) und die des blauen Regulusses CR-parallel. Analog nennen
wir die zugehörige Translation CL- bzw. CR-Translation (oder -Schiebung).

Wir beziehen uns dabei auf einen dreidimensionalen elliptischen Raum, in dem die Maßbestimmung für
Ebenen durch die symmetrische Bilinearform gegeben ist,
für Punkte durch und für Geraden durch
und . Dabei ist k eine positive reelle
Konstante und z.B. . In den folgenden Animationen ist k gleich 1.

A, B , C und D seien Punkte des Raumes, so dass AB und CD CL-parallel sind und AD und BC
CR-parallel. Dann nennen wir
ABCD CL-Parallelogramm und ADCB CR-Parallelogramm. Wenn die
Eckpunkte
A, B und D durch ihre Punkt-Quadrupel a, b und d gegeben sind, kann man das Quadrupel
c des vierten Eckpunktes
C im CL-Parallelogramm folgendermaßen berechnen: Das Kreuz-Produkt
ist das Quadrupel w mit der Eigenschaft, dass für jedes Quadrupel v gilt .
Wenn die Determinante der Matrix ist, die sich ergibt, wenn man in der Matrix aus den drei Zeilen a, b
und d die i-te Spalte löscht, dann ist . Die zugehörige Ebene inzidiert mit
A, B
und
D. ist der Pol dieser Ebene. Dann ist c proportional zu
. Der vierte Eckpunkt
C' im CR-Parallelogramm
ABC'D ergibt sich, indem man durch ersetzt. Wenn A, B und D kollinear sind, ist C der vierte
Spiegelungs-Punkt. Das bedeutet, dass die Hintereinanderschaltumg der elliptischen Spiegelungen an
B, A
und
D die Spiegelung an C ergibt. Für A ist dies die Abbildung für ein Quadrupel
p eines Raum-Punktes P, vorausgesetzt, dass a e-normiert ist.

Eine andere Möglichkeit der Darstellung von c erhält man mit dem Quaternionen-Produkt für Punkt-
Quadrupel p und q, das folgendermaßen definiert werden kann : Sei bzw. (red für 'reduziert') das
Tripel aus den ersten drei Komponenten von p bzw. q und das innere Produkt davon. Dann ist
und . Die Verknüpfung * ist assoziativ,
aber nicht kommutativ, da sich bei Vertauschung der Faktoren beim Kreuz-Produkt das Vorzeichen ändert.
Mit dem zu a konjugierten Quadrupel ist Quadrupel von
C für ein
CL-Parallelogramm
ABCD. Wenn ABCD CR-Parallelogramm ist, muss man b und d vertauschen.

In jedem CL-Parallelogramm oder CR-Parallelogramm
ABCD haben AB und DC , sowie AD und BC
den gleichen elliptischen Abstand. Dies entspricht also den Bedingungen bei Parallelogrammen in der
euklidischen Geometrie, die aber im Gegensatz zu Clifford-Parallelogrammen stets komplanare Eckpunkte
haben. Die elliptische Größe des Winkels zwischen den Ebenen
ABC und BCD stimmt mit der zwischen
den Ebenen
CDA und DAB überein und hat den gleichen Wert wie die Abstände von AD und BC . Der
gleiche Zusammenhang zeigt sich, wenn man die Punkt-Bezeichnungen um eine Position zyklisch
weiterrückt.

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Diese Animation geht von einem CL-Parallelogramm ABCD mit gleich langen Seiten der Länge 40°
aus. Durch Teilung gegenüberliegender Seiten im gleichen elliptischen Teilverhältnis werden Regulus-
Geraden zu einem hyperbolischen Paraboloid erzeugt. Die euklidische Teilverhältnis-Konstante tvk
ist hier gleich 1. Realisiert wird die Erzeugung der Regulus-Geraden durch CR-Translationen längs
AB und CL-Translationen längs AD, die auf die Geraden AD bzw. AB angewandt werden. Die roten
Geraden des L-Regulusses und die blauen Geraden des R-Regulusses, welche die Seiten
AD bzw. AB
im gleichen elliptischen Teilverhältnis teilen, schneiden sich in der magentafarbenen Parabel. Die hellgrüne
Parabel entsteht dadurch, dass bei den roten L-Regulus-Geraden die innere Teilung durch die äußere
Teilung der Strecke zwischen den Schnittpunkte mit den Seiten-Geraden
BC und AD ersetzt wird. Nach
einer 360°-Drehung des Paraboloid wird im letzten Teil der Animation der Winkel
BAD vergrößert mit
dem Effekt, dass aus dem Paraboloid ein einschaliges Hyperboloid, aus der roten Parabel eine Ellipse
und aus der grünen eine Hyperbel entsteht.

Wenn das CL-Parallelogramm
ABCD durch Quadrupeln a, b, d und gegeben ist, gibt es
durch jeden Punkt R der zugehörigen Regelfläche (Hyperboloid oder hyperbolisches Paraboloid) eine
Links-Parallele g zu
AB und eine Recht-Parallele h zu AD. g schneidet AD in einem Punkt Q und h trifft
AB im Punkt P. Es gibt reelle Zahlen s, s', t und t' mit und . Wenn P und Q
nicht gerade unendlich ferne Punkte sind, kann man für s' und t' auch 1-s bzw. 1-t setzen, um so ein
Koordinaten-Paar (s ; t) zu dem Punkt R zu erhalten. Da R vierter L-Parallelogramm-Punkt zu
APRQ ist,
ist Quadrupel von R. Da mit jedem Quaternion vetauschbar
ist, errechnet man

.
Diese Darstellung zeigt, dass
eine Gleichung für die Regekfläche ist, denn sie wird bei Einsetzung von r an Stelle von x erfüllt. Die
euklidische Teilverhältnis-Konstante tvk, die auf der Seite ' Hyperboloid 2' erklärt wird, ist nicht der
Kehrwert von fp(a;a), weil insbesondere c nicht als vierte Komponente 1 hat. Wenn man a, b, c und d
so normiert, dass sie die vierte Komponente 1 haben, muss der Faktor in der Gleichung der
Regelfläche geändert werden, nämlich in die euklidische Teilverhältnis-Konstante
.



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Das CL-Parallelogramm ABCD dieser Animation hat Seiten AB und CD der Länge 30° und
Seiten
AD und BC der Länge 40°. Im ersten Bild ist auf der Seiten-Geraden AB der zu A polare
Punkt A' eingezeichnet, der von
A den elliptischen Abstand 90° hat. Dies ist der Schnittpunkt der
Geraden
AB mit der Ebene, zu der A der Pol ist. Auf der Geraden CD ist der zu D polare Punkt
D' zugefügt. Die Gerade A'D' ist R-parallel zu
AD und BC. In der aus ABCD konstruierten
Regelfläche ist A'D' die Antipoden-Gerade, die sich durch elliptische Spiegelung an einer elliptischen
Symmetrie-Achse dieser Fläche (Hyperboloid oder hyperbolisches Paraboloid) ergibt. Von einem
beliebig gewählten
Punkt
I auf A'D' wurde die magentafarbene Lot-Gerade g auf die Gerade AD konstruiert. Sie hat
dem Fußpunkt
J, der im ersten Bild so nahe bei D liegt, dass er von D verdeckt ist. g ist auch zu
A'D' elliptisch orthogonal.
I hat von J den elliptischen Abstand 83,2°. Zwei weitere magentafarbene
Punkte
M1 und M2 auf g sind die beiden elliptischen Mittelpunkte der Strecke IJ, die also IJ innen
und außen im elliptischen Teilverhältnis 1 teilen. Ihr elliptischer Abstand von
I und J beträgt darum
41,6°. Wenn die Quadrupel von
I und J e-normiert sind, ist ihre Summe und auch ihre Differenz
Quadrupel eines Mittelpunktes.

Die Bedeutung der grauen Geraden wird in den folgenden Bildern der Animation klar, wenn die
Strecken
AD und A'D' mit Hilfe von CR-Translationen längs AB verschoben werden. Denn die beiden
Mittelpunkte
M1 und M2 bewegen sich dann auf den grauen Geraden. Diese sind zueinander polar
und beide elliptisch orthogonal zu
g.

Im zweiten Abschnitt der Animation wird dieser Vorgang mit vertauschten Rollen von
AB und AD
wiederholt, im dritten wird die Kombination beider Konstruktionen durch eine 360°-Drehung
räumlich verdeutlicht.

In der Gleitschau wurden im Anschluss an die Standbilder der Animation in sechs Bildern Maß-
Zahlen hinzugefügt und in dem folgenden (vorletzten) Bild der Zusammenhang mit der Regelfläche
gezeigt, die hier ein hyperbolisches Paraboloid ist. Das letzte Bild zeigt die analoge Konstruktion
für ein anderes Ausgangs-Parallelogramm
ABCD, bei dem sich ein einschaliges Hyperboloid ergibt.


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Das CL-Parallelogramm ABCD dieser Animation hat Seiten AB und CD der Länge 30° und Seiten
AD und BC der Länge 40°. Die elliptische Größe des Winkels DAB beträgt 85,90°. Dieser Wert
tritt rechts neben dem CL-Parallelogramm auch in der Zeichnung mit Pfeilen der Länge 1 auf, die an
den Koordinaten-Ursprung angeheftet sind, gibt aber hier die
euklidische Winkelgröße zwischen
einem rot-gelben und einem blau-gelben Pfeilen an. Jede dieser Farb-Kombinationen tritt hier bei vier
Pfeilen auf, wobei jeweils zwei einen Doppel-Pfeil bilden. Wir trennen die beiden Doppel-Pfeile mit
der gleichen Farb-Kombination in einen Links-Doppel-Pfeil LDP und einen Rechts-Doppel-Pfeil RDP.
Die Sortierung ergibt sich aus den (verkleinerten) Teil-Kopien unten links (L) und unten rechts (R).

Die rot-gelben Doppel-Pfeile gehören zu der Geraden
AB, deren e-normiertes Tripel-Paar (u ; v) in der
obersten Zeile angegeben ist. Das Tripel-Paar (L ; R) daneben ist (bei k = 1) das Paar (u + v ; u - v).
Dabei gibt u + v das Koordinaten-Tripel der Spitze eines der beiden Pfeile vom Links-Doppel-Pfeil zu
AB an und u - v die Spitze eines der beiden Pfeile vom Rechts-Doppel-Pfeil.

Im ersten Teil der Animation wird die rot-graue Strecke PQ der Länge 30° mit Hilfe einer CL-Translation
längs
AD verschoben. Für diese L-Parallele zu AB und DC ist anfangs P = A und Q = B und schließlich
P =
D und Q = C. In jeder Lage von PQ ist das elliptische Lot g von einem Punkt M der Strecke AB auf
PQ als schwarz-weißer Doppelpfeil eingezeichnet. Es schneidet nicht nur PQ elliptisch orthogonal, sondern
auch
AB. Darum gibt es eine Schraubung längs g, die AB in PQ abbildet. Auf der vorhergehenden Seite
' Schraubungen' wurde dazu mit Matrizen die Abbildung definiert. Die Animation
zeigt, dass hier der Verdrehungs-Winkel und der Verschiebungs-Winkel übereinstimmen. Die
Schraubung ist folglich eine Clifford-Translation.

Bei der Bewegung von PQ bewegt sich zwar auch der zugehörige Rechts-Doppel-Pfeil, bemerkenswerter
Weise aber nicht der Links-Doppel-Pfeil. Zwei Geraden sind nämlich genau dann L-parallel, wenn ihre
Links-Doppel-Pfeile übereinstimmen. Der euklidische Winkel zwischen den Links-Doppel-Pfeilen von
AB
und PQ ist also . Dazu passt, das der euklidische Winkel zwischen den Rechts-Doppel-Pfeilen
von
AB und PQ gleich ist. Bei der CL-Translation von PQ wird der R-Vektor von PQ in der
Ebene gedreht, die von den R-Vektoren zu
AB und DC aufgespannt wird und der L-Vektor stimmt mit
dem von
AB überein. Hieraus ist das Tripel-Paar (L ; R) von PQ im Rahmen der euklidischen Geometrie
berechenbar. Damit ist (bei k = 1) ein Tripel-Paar von PQ in Plücker-Koordinaten .

Die gleiche Winkel-Beziehung zeigt sich auch an dem Winkel 85,90° zwischen
AB und AD. Denn
da sich die Geraden schneiden, ist hier die Größe des Verschiebungs-Winkels gleich Null, folglich
.

Aus derTatsache, dass zwei Geraden genau dann L- bzw. R-parallel sind, wenn ihre Links- bzw. Rechts-
Doppel-Pfeile übereinstimmen, folgt die Transitivität der Relation L- bzw. R-parallel. Wenn g und h sowie
h und j also L-parallel sind, dann auch g und j.

Im zweiten Teil der Animation wird der Punkt M auf
AB hin und her geschoben und die Doppel-Pfeile von
g werden angezeigt. Beide Doppelpfeile sind euklidisch orthogonal zu den entsprechenden Pfeilen von
AB
und PQ. Da deren Links-Doppel-Pfeile gleich sind, kann sich LDP(g) bewegen, nicht aber RDP(g), da
RDP(
AB) ungleich RDP(PQ) ist. Darum sind die Geraden g alle R-parallel.

Im dritten Teil der Animation wird um 360° gedreht und anschließend der Ablauf mit vertauschten Rollen
von
AB und AD wiederholt.

In der Gleitschau findet man nach den Standbildern der Animation zu k = 1 zweiunddreißig Bilder
mit verändertem k-Wert. Das Tripel-Paar (L ; R) ist dann durch gegeben.
Die Zusammenhänge zwischen den elliptischen und den euklidischen Winkelgrößen sind die Gleichen
wie für k = 1.



Zur LR-Zerlegung
:

Eine LR-Zerlegung, wie sie in der Animation für Tripel-Paare durchgeführt wurde, spielt in der Geometrie
der elliptischen Raum-Geraden auch für Paare (x ; y) reeller Zahlen eine Rolle. Wir definieren dazu die
Abbildungen LR: und ILR: , wobei ILR
die
inverse Abbildung zu LR ist. k ist die zu Beginn dieser Seite genannte positive metrische Konstante.
Die Exponenten LR und ILR benutzen wir entsprechend auch für Tripel-Paare. Mit den Bezeichnungen
und
für gilt also .

Wenn j und j' zueinander polare Achsen der beiden Geraden g und h sind, dann bildet die auf der
vorangehenden Seite ' Schraubungen' definierte Abbildung g in h ab, wobei wir
als Drehungs-Winkel und als Verschiebungs-Winkel betrachtet haben. Die Abbildung
bewirkt das Gleiche bei vertauschter Rolle von und . Die Unterscheidung
von Drehungs- und Verschiebungs-Winkel ist also nur in Bezug auf eine bestimmte Achse sinnvoll.

Wenn (s ; t) und (u ; v) Tripel-Paare von g und h sind, können und mit dem Zahlen-Paar
(fg((s;t);(u;v)) ; gg((s;t);(u;v))) berechnet werden, wobei jedoch die Zuordnung zu einer Achse unklar
bleibt. Man führt dabei folgendermaßen die elliptische Maß-Bestimmung mit Hilfe der LR-Zerlegung
auf eine euklidische zurück: Sei (a;b) bzw. (c;d) das LR-Bild von (s;t) bzw. (u;v). Dann ist
.

Um und in Beziehung mit den euklidischen Winkeln zwischen a und c bzw. b und d zu bringen, ist eine
Multiplikation für Zahlen-Paare nützlich, die für hyperbolische Raumgeraden mit k = -1 die Multiplikation
komplexer Zahlen ergibt: . Zahlen-Paare mit dieser
Multiplikation und der komponentenweisen Addition werden 'ano(r)mal-komplexe Zahlen' genannt. Es ist
üblich das Paar (0 ; 1) mit j zu bezeichnen, analog der Verwendung der imaginären Einheit i bei komplexen
Zahlen. Dann gilt , und .
heißt 'zu konjugiert', analog wie bei komplexen Zahlen. Unter der 'Norm' von
verstehen wir .

Für anomal-komplexen Zahlen gelten das Assoziativ-Gesetz, Distributiv-Gesetz und das Kommutativ-Gesetz.
Allerdings gibt es nicht zu jeder Zahl ein Zahl
n mit . Denn genau
die anomal-komplexen Zahlen mit der Norm Null haben kein multiplikatives Inverses. Dies sind die Zahlen
mit der Form und . Diese Elemente sind alle Nullteiler, denn
. Im Fall gilt .

Das einer elliptische Raumgeraden zugeoerdnete Tripel-Paar kann man in ein
Tripel anomal-komplexer Zahlen umschreiben, analog zur Benutzung dualer
Zahlen für euklidische Raumgeraden (siehe die Seite 'euklidische Raumgeraden> Höhen im 6-Rechteck').
Wenn man dann in umschreibt, kann
diese anomal-komplexer Zahl durch folgenden Term berechnet werden:


Bei den euklidischen Raumgeraden kann man zur Berechnung einer gemeinsamen Orthogonalen zweier
Geraden das Kreuz-Produkt für Tripel dualer zahle verwenden. Dies Verfahren ist auch für elliptische
Raumgeraden g zu
s und h zu u wirksam, wenn man die duale Zahl durch j ersetzt. Es gilt dann also


.
Wenn die Norm von größer als Null ist, kann man das Tripel zu
normieren, um ein Geraden-Tripel der Achse von g und h zu erhalten. Die Wurzel aus einer
anomal-komplexen Zahl wird nur definiert, falls ihre Norm größer als Null ist.
Dann ist .

Für anomal-komplexen Zahlen definieren wir Funktionen cos und sin unter Verwendung der
Kosinus- und Sinus-Funktion für reelle Zahlen in folgender Weise:
und .
Wenn k kleiner als Null ist, gilt eine entsprechende Formel. Sie entsteht dadurch, dass man j hier durch
die imaginäre Einheit i der komplexen Zahlen ersetzt und im Term der rechten Seite durch .
Dann gilt wie bei der Kosinus- und Sinus-Funktion für reelle oder komplexe Zahlen
und .
Für den Drehungs-Winkel und den Abstands-Winkel zwischen den
Geraden g und h mit e-normierten Tripel-Paaren (s ; t) und (u ; v) gilt
. Daraus folgt
.

Die anomal-komplexen Zahlen erlauben eine analoge Darstellung für die Matrix einer elliptischen
Schraubung, wie sie am Schluss der Seite ' Kugelviereck 2' für hyperbolische Schraubungen
angegeben wird. Dazu schreiben wir das e-normierte Tripel-Paar (s ; t) der Geraden g in der Form
. Sei die Matrix aus vier Zeilen und Spalten mit viermal
1 = (1 ; 0) in der Hauptdiagonalen und sonst nur das Paar 0 = (0 ; 0) und . Damit
definieren wir und .
sei die Matrix, die aus dadurch entsteht, dass jede Komponenten durch die dazu konjugierte
Zahl ersetzt wird. Dann wird ein Punkt-Quadrupel bei der Schraubung mit dem Drehungs-Winkel
und dem Abstands-Winkel durch die Matrix abgebildet.

Die Komponenten von sind Zahlenpaare, auf die wir die LR-Zerlegung anwenden. Die Ergebnis-Matrix
aus Zahlenpaaren nennen wir . Die Matrix, die aus den linken bzw. rechten Komponenten
dieser Paare ergibt, nennen wir bzw. . Zur Beschreibung dieser Matrizen benutzen wir
die Abkürzung .
sei die Matrix, die durch Ersetzen von durch entsteht. Damit gilt:

und .

Die Plus-matrix bzw. Minus-Matrix ist die Matrix einer CL-Translation bzw.
CR-Translation, falls die Determinante ist, und zwar sowohl für Punkt- als
auch Ebenen-Quadrupel. Die dazu inverse Matrix ergbt sich, wenn man si durch -si ersetzt und durch die
Determinante teilt. Die Hintereinanderschaltung zweier Plus-Matrizen ist eine Plus-Matrix. Analoges gilt
für die Minus-Matrizen. Jede Plus-Matrix ist mit jeder Minus-Matrix vertauschbar, ohne dass sich das
Produkt ändert. Für Plus-Matrizen (Minus-Matrizen) gilt dies nur wenn ihre Tripel linear abhängig sind.
Das Quaternionen-Produkt zweier Quadrupel stimmt mit und
überein. Die Bilder eines Punktes bei Plus- oder Minus-Matrizen mit gleichem u,
aber verschiedenen Parametern co oder si liegen auf einer Geraden.

Die Tatsache, dass die Plus- und die Minus-Matrizen stets vertauschbar sind, hat eine bemerkenswerte
Konsequenz für die Struktur der Gruppe, die von allen Schraubungen des elliptischen Raums erzeugt
wird. Denn wenn man auf die Funktion ILR anwendet. ergibt sich als Linearkombination
in der Form , woraus folgt.. Schaltet man mehrere
dieser Schraubungs-Matrizen hintereinander, so kann man alle Plus-Matrizen durch Vertauschungen nach
vorne schieben, ohne die Wirkung für Punkt-Quadrupel zu verändern. Daraus folgt, das die Gruppe, die
von allen Schraubungen des elliptischen Raums erzeugt wird, isomorph ist zum direkten Produkt zweier
Exemplare der Gruppe SO(3), die von den Drehungen um Ursprungs-Geraden erzeugt wird.




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