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Hyperboloid 2

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Einschaliges Hyperboloid 2

Auf dieser Seite wird das Standard-Viereck
ABCD variiert, mit dem nach der auf der Seite ' Ceva'
beschriebenen Konstruktion ein Hyperboloid erzeugt wird.


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In der Animation werden die Punkte B und D symmetrisch zur xy-Ebene um die Achse AC gedreht
und das Hyperboloid zum Basis-Viereck
ABCD und der Teilverhältnis-Konstante tvk = 2 gezeigt.
Nach dünnen Linien für die Regulus-Geraden in der ersten Periode, werden diese in der zweiten als
Stäbe dargestellt, in hellblau für die Vorderseite und in gelb für die Rückseite. Bei der Drehung
gleiten die Stäbe schneidender Regulus-Geraden so aneinander vorbei, als seien sie nur mit einer
Schlaufe miteinander verbunden.





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Ausgehend von dem gleichen Viereck ABCD wie in der vorangehenden Animation werden hier bei
der Teilverhältnis-Konstanten tvk = 2 die Eckpunkte auf Ursprungs-Geraden in den am Ursprung
gespiegelten Punkt verschoben, und zwar erst
A, dann C, dann B und schließlich D. Dabei wurden
Schnittkurven des Hyperboloids mit Symmetrie-Ebenen eingezeichnet. Die Vektoren vom Mittelpunkt
des Hyperboloids zu gemeinsamen Punkten zweier dieser Sschnittkurven haben die Richtungen
der Eigenvektoren, die in gleicher Farbe unten rechts im Bild angegeben sind. Die beiden Vektoren,
deren Spitzen auf Schnittpunkte zweier Schnittkurven treffen, sind euklidisch orthogonal und auch
orhogonal zum dritten Vektor, der vom Mittelpunkt in Richtung der Symmetrie-Achse des Hyperboloids
zeigt. Dieser hat die gleiche Richtung wie der dritte Eigenvektor. Jeder der drei Vektoren ist euklidisch
orthogonal zu einer Symmetrie-Ebene.

Die Berechnung der Eigenvektoren wird unten erklärt.

Nach dem ersten Teil der Animation mit Zeichnungen der Regulus-Geraden wird beim Zurückschieben
der Punkte in umgekehrter Reihenfolge das zugehörige Hyperboloid in Kachel-Ansicht gezeigt.

Wie auf der Seite ' Ceva' bezeichnen wir das Quadrupel mit , das entsteht, wenn man das Koordinaten-
Tripel a von
A durch die vierte Komponente 1 ergänzt, und verfahren mit b, c und d analog. sei das
Quadrupel (x ; y ; z ; 1). Der zugehörige Punkt X liegt genau dann auf der Quadrik QH, die mit
der Teilverhältnis-Konstanten tvk im Viereck
ABCD konstruiert wird, wenn gilt:
.
Für das Standard-Viereck
ist dies die Gleichung , für tvk = 2 also
. Mit Hilfe von
symmetrischen Matrizen lassen sich diese Gleichungen in
der Form bzw.
schreiben, wobei die zur Spalte transponierte Zeile (x ; y ; z ; 1) bedeutet und wie die Zeile als Matrix
verstanden wird. Die besondere Form der Matrix zu tvk = 2, dass nämlich außerhalb der Hauptdiagonalen
nur Nullen vorkommen, lässt erkennen, dass die Koordinaten-Ebenen x = 0, y = 0 und z = 0 in diesem Fall
Symmetrie-Ebenen von QH sind. Die Tatsache, dass in dieser Diagonal-Matrix zwei der vier Zahlen in der
Hauptdiagonalen positiv und die zwei anderen negativ sind, kennzeichnet die Quadrik als Hyperboloid
oder hyperbolisches Paraboloid.

Für jedes Viereck
ABCD mit nicht komplanaren Eckpunkten und einer Teilverhältnis-Konstanten tvk
ungleich Null bezeichnen wir diese Matrix mit Fp. Es gilt also
.
Die Gleichung beschreibt für tvk ungleich Null und 1 ein Hyperboloid und ein hyperbolisches
Paraboloid für tvk = 1. Die auf der Seite ' Ceva' eingeführte Matrix F ist für ein beliebiges Viereck
ABCD mit nicht komplanaren Eckpunkten
und .
Die Matrix F bzw. Fp bestimmt eine Bilinearform f bzw. fp für die H-Orthogonalität von Ebenen bzw.
H-Polarität von Punkten. Im Sinne dieser nicht-euklidischen Maß-Bestimmung sind Ebenen D und E
mit den Quadrupeln d bzw. e H-orthogonal, wenn gilt. Punkt X und Y sind
zueinander H-polar, wenn . Die Symmetrie-Ebenen sind sowohl euklidisch
als auch H-orthogonal.

Der (endliche) Mittelpunkt Z von QH, zu dem die Quadrik punktsymmetrisch ist und der auf allen
Symmetrie-Ebenen liegt, hat im Fall tvk ungleich 1 das Quadupel [0 ; 0 ; 0 ; 1].F . Dabei ist die vierte
Komponente möglicherweise ungleich Eins. Beim Hyperboloid ist diese Zahl im Gegensatz zum
hyperbolischen Paraboloid ungleich Null. Man teilt alle vier Komponenten durch die vierte, um das
Koordinaten-Tripel von Z zu erhalten. Das Quadrupel [0 ; 0 ; 0 ; 1] gehört zu der unendlich fernen
Ebene, deren H-Pol Z ist. Für jedes Viereck
ABCD teilt Z die Strecke vom Mittelpunkt von AC zum
Mittelpunkt von
BD im Verhältnis -tvk.

P sei der Punkt mit dem Koordinaten-Tripel , der AB im Verhältnis vr teilt. Q sei der
Punkt, der
CD im Verhältnis teilt. Die Gerade PQ ist dann Regulus-Gerade mit dem Tripel-Paar

in Plücker-Koordinaten.
R bzw. S sei der Punkt, der DA bzw. CD im Verhältnis bzw. teilt. Dann
ist
RS Gerade des zweiten Regulusses mit dem Tripel-Paar .
Der Schnittpunkt hat das Koordinaten-Tripel .
Vier Punkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn gilt:


Die Zahlen-Tripel im Bild der Animation unten rechts geben die Eigenvektoren der reduzierten
Matrix Fpred an, die entsteht, wenn man bei Fp die vierte Zeile und Spalte weglässt. Jeder dieser
Eigenvektoren v hat die Eigenschaft, dass es zum Vektor v.Fpred eine Zahl r gibt, so dass
gilt. Der 'Eigenwert' r ist jeweils neben dem zugehörigen Eigenvektor in der
Animation angegeben.

Wenn ein Vektor v Eigenvektor zu einem Eigenwert r ist, gilt dies auch für jeden Vektor, der aus
v durch Multiplikation mit einer reellen Zahl s ungleich Null entsteht. Die im Bild angegebenen
Eigenvektoren wurden auf die Länge 1 normiert.

Durch die Matrix Fpred sind die drei Eigenwerte eindeutig bestimmt. Wenn man die Matrix Fp
mit einer reellen Zahl s multipliziert, gehört ein Quadrupel genau dann zu einem Punkt von QH,
wenn gilt. Die Eigenwerte der Matrix, die aus Fpred durch
Multiplikation mit s entsteht, ergeben sich aus denen von Fpred ebenfalls durch Multiplikation
mit s. Darum sind nur die
Quotienten dieser Eigenwerte für das Hyperboloid cherakteristisch.

Es gibt einen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten und den Hauptachsen-Abschnitten von den
Kegelschnitten der Symmetrie-Ebenen. r1 und r2 seien Eigenwerte mit gleichem Vorzeichen zu den
Eigenvektoren, die orthogonal zu den Symmetrie-Ebene E1 bzw. E2 sind. Die zugehörigen Kegelschnitte
K1 und K2 sind dann Hyperbeln, die mit dem elliptischen dritten Kegelschnitt K3 gemeinsame
Scheitelpunkte S1 und S2 mit den Abständen d1 und d2 von Z haben. Dann ist .
Der dritte Eigenwert r3 bestimmt mit r1 bzw. r2 für K1 bzw. K2 das Verhältnis der imaginären
zur reellen Halbachse.

Wenn man das Koordinatensystem so legt, dass
A in Ursprung liegt und die Punkte B, C und D
in den Einheits-Punkten auf der x- , y- bzw. z-Achse liegen, dann liegt ein Punkt (x ; y ; z) genau dann
auf QH, wenn gilt. Dazu gehören die Matrizen
und , sodass also
ist. Das Koordinatensystem ist dann möglicherweise nicht rechtwinklig.
a, b, c und d seien die Tripel von
A , B, C und D ím ursprunglichen System und M die Matrix mit den Zeilen
a-d, b-d und c-d.. In diesem System dann , wobei das hochgestellte T zum
Transponieren der Matrix (Vertauschen von Zeilen und Spalten) führt. sei die Matrix, die aus M
dadurch entsteht, dass man das Tripel a als vierte Zeile hinzufügt und die entstehende Matrix um die vierte
Spalte ergänzt. Dann ist Matrix F, welche die H-Orthogonalität von Ebenen bestimmt, durch
gegeben.

Die Eigenwerte von Fpred sind die Lösungen w der 'charakteristischen Gleichung'
zu Fpred. Dabei ist I die Matrix mit drei Einsen in der Hauptdieagonalen und sonst Nullen. Dies ist eine
Gleichung der Form . Dabei ist k2 die Spur von Fpred, also die Summe der
Zahlen der Haupt-Diagonalen. k1 ist die Spur der Matrix der Minoren zu Fpred, also der Determinanten der
Matrizen, die entstehen, wenn man eine Zeile und eine Spalte von Fpred streicht. Diese Unter-Determinante
setzt man an die Kreuzungs-Stelle der Zeile und Spalte. k0 ist die Determinante von Fpred.

Den Zusammenhang zwischen den Eckpunkten
A , B, C und D des Basis-Vierecks und den Vorzahlen der
charakteristischen Gleichnung kann man folgendermaßen herstellen: Für das euklidische innere Produkt bzw.
Kreuz-Produkt zweier Vektoren benutzen wir das Zeichen bzw. . Die Determinante von M sei mit det
bezeichnet. q sei das Quadrat der euklidischen Länge des Vektors . Dann ist


.
Die Eigenwerte, die sich mit diesen Vorzahlen ergeben, wurden in der Animation mit multipliziert.


Zur Bestimmung der Scheitelpunkte der Kegelschnitte, die von den Symmetrie-Ebenen aus der Quadrik
ausgeschnitten werden :


Sei zunächst tvk<>1, also QH ein Hyperboloid. Dann gibt es drei Symmetrie-Ebenen. Diese sind euklidisch
orthogonal zu den Eigenvektoren und enthalten den Mittelpunkt Z. Eine dieser Ebenen hat eine Ellipse als
Schnittkurve. Wir nennen diese E0. Die anderen beiden Ebenen E1 und E2 schneiden aus QH Hyperbeln.
Sie gehören zu Eigenwerten, die entweder beide positiv oder beide negativ sind. Jede der Ebenen E0, E1
und E3 hat den unendlich fernen Punkt der Geraden als Pol, die durch Z in Richtung des zur Ebene euklidisch
orthogonalen Eigenvektors v0 bzw. v1 bzw. v3 verläuft. Diese Gerade ist für E0 die Symmetrie-Achse des
Hyperboloids, die keinen Punkt mit QH gemeinsam hat. Für E1 (E2) ist es eine Symmetrie-Gerade, die QH
in gemeinsamen Scheitelpunkten S2, und S2' (S1 und S1') des Kegelschnitts zu E2 (E1) und E0 euklidisch
orthogonal schneidet. Darum ist der zu E1 bzw. E2 orthogonale Eigenvektor v1 bzw. v2 auch orthogonal
zur Tangential-Ebene T2 bzw. T1 zu den Punkten S2 bzw. S1. Diese beiden Punkte sind Pole von T2 und
T1. Darum ergibt sich ein Quadrupel von z. B S2 dadurch, dass man ein als Matrix-Zeile geschriebenes
Quadrupel zu T2 von rechts mit der Matrix F multipliziert. Für die ersten drei Komponenten des Quadrupels
von T2 kann man die Komponenten des Eigenvektors v1 = (v1x ; v1y ; v1z) nehmen, zu denen wir die vierte
noch unbekannte Komponente u hinzufügen. Das Ergebnis-Quadrupel (v1x ; v1y ; v1z ; u).F zum Scheitelpunkt
S2 kann in der Form mit bekannten Quadrupeln g und h geschrieben werden. Da dies das Quadrupel
eines Punktes von QH ist, kann u aus folgender quadratischen Gleichung berechnet werden :
.

Sei nun tvk = 1, also QH ein hyperbolisches Paraboloid. Dann ist , und
. Ein Eigenwert ist darum Null, und die anderen beiden
haben unterschiedliche Vorzeichen. Es gibt zwei Symmetrie-Ebenen E1 und E2. Sie sind orthogonal zu den
Eigenvektoren v1 und v2 zu den Eigenwerten ungleich Null. Die Schnittgerade dieser Ebenen ist Symmetrie-
Achse des Paraboloids in Richtung des dritten Eigenvektors v0 zum Eigenwert Null. Diese Symmetrie-Achse
schneidet das Paraboloid im Punkt S von QH. Dieser ist gemeinsamer Scheitelpunkt der Parabeln, die sich
beim Schnitt von E1 und E2 mit QH ergeben. Das oben für tvk >1 angegebene Verfahren führt dann zu einer
Gleichung, bei der fp(h;h) = 0 ist, die also nur eine Lösung hat. Die vierte Zeile der Matrix F, die für tvk<>1
Quadrupel des Mittelpunkts ist, hat bei tvk = 0 Null als vierte Komponente. Es ist der unendlich ferne Punkt
auf der Symmetrie-Achse. Den Punkt S, der eine Art Mittelpunkt des Paraboloids ist, aber kein Symmetrie-
Punkt, bezeichnen wir als 'Sattelpunkt'.



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