Es lebe die Geometrie!

Zickzacks bei zwei Kreisen als Führungskurven

Unter einem Zickzack wird ein Streckenzug aus Sehnen gleicher Länge s verstanden, wobei aufeinander
folgende Sehnen nicht zusammenfallen. Die Kurve oder die Kurven, auf denen die Endpunkte liegen,
bezeichnen wir als 'Führungskurven'. Wenn dies mehrere Kurven sind, sollen aufeinander folgende Punkte
des Streckenzugs auf verschiedenen Kurven liegen. Ein Zickzack heißt 'geschlossen', wenn Anfangs- und
Endpunkt des Streckenzugs zusammenfallen.

Satz: Wenn es zu zwei Kreisen als Führungskurven einen geschlossenen Zickzack mit n Sehnen und der
Sehnenlänge s gibt, dann gehört jede Sehne der Länge s zu einem derartigen Zickzack.

Die Animation zeigt einen geschlossenen Zickzack zu zwei Kreisen, dessen Punkte so auf den Kreisen
umlaufen, dass dabei die Sehnenlänge s unverändert bleibt. s beträgt 1,098, der Abstand der Kreis-
Mittelpunkte 0,6 und die Kreisradien sind hier 1 und 1,4. In der zweiten der drei Perioden ist die blaue
Kurve die Enveloppe der Vorwärts-Sehne jedes Sehnen-Paars. Dabei wird deutlich, dass die Rückwärts-
Sehnen eine andere Enveloppe haben. In der dritten Periode ist die blaue Kurve die Enveloppe der
Ko-Sehnen zu den Sehnen-Paaren mit dem Eckpunkt auf dem dunkelroten Kreis.

Bemerkenswerter Weise ist die Ko-Sehnen-Enveloppe eine Ellipse. Das ist stets dann der Fall, wenn der
Mittelpunkt M2 des hellroten Führungs-Kreises im dunkelroten Kreis liegt. Dies wird unten auf dieser Seite
gezeigt. Mit dieser Tatsache folgt die Behauptung des Satzes über Zickzacks aus dem Satz von Poncelet.
Dieser besagt:

Wenn es zu einem Kreis und einer Ellipse einen geschlossenen Kreis-Sehnenzug mit n Sehnen gibt,
dessen Sehnengeraden alle verschiedene Tangenten der Ellipse sind, dann ist jeder Kreispunkt Eckpunkt
eines derartigen Sehnenzug.

Hier werden Zickzacks für ineinander liegende Kreise gezeigt, deren Mittelpunkte den
Abstand 0,25 haben und deren Radien 1 und 0,68 betragen. Die Sehnenlängen sind
0,890, 0,739, 0,650 und 1,014.

Die Animation verdeutlicht, dass die Ko-Sehnen-Enveloppe zu den zwei Kreisen als Führungskurven
eine Ellipse ist, vorausgesetzt dass M2 im dunkelroten Kreis liegt.

Begründung :

Der Schnittpunkt H der Ko-Sehnen-Gerade k mit der Ursprungsgeraden M1A ist der Berührpunkt
von k mit der Ko-Sehnen-Enveloppe. Um dies zu verstehen, betrachte man Bild 7 der Gleitschau. Die
beiden schwarzen Sehnen AB und AC haben die gleiche Länge s. Sei h die Länge der Strecke BH und
j die von HC. Die Größe des schwarz markierten Winkels HAB sei genannt, die des grauenWinkels
CAH sei und die des blauen Winkels AHB sei . Die Geschwindigkeit des Punktes A auf dem
dunkelroten Kreis sei v; sie wird durch die Länge des dunkelroten Pfeils dargestellt. Der schwarze bzw.
graue Pfeil an A entsteht durch senkrechte Projektion dieses Pfeils auf die Geraden AB bzw. AC und
gibt die Komponente der Geschwindigkeit von A in Richtung dieser Geraden an. Sie stimmt mit der
gleichfarbigen Komponente bzw. der Geschwindigkeit des Punktes B bzw. C in Richtung AB
bzw. AC überein. Nach dem Sinus-Satz gilt dann



Hieraus folgt, dass H Berührpunkt von k mit der Ko-Sehnen-Enveloppe ist. Denn die hellroten Pfeile
der Geschwindigkeiten von B und C schließen mit k gleich große Winkel ein und die beiden anderen
Geschwindigkeitsvektoren in B bzw. C entstehen aus den hellroten Pfeilen durch senkrechte Projektion.

Zum Nachweis, dass die Ko-Sehnen-Enveloppe eine Ellipse ist :

Der dunkelrote Kreis hat in kartesichen Koordinaten die Gleichung und der hellrote
Kreis die Gleichung . Der Kreis um den Punkt mit der
Sehnenlänge s als Radius hat die Gleichung . Die
Ko-Sehnen-Gerade k ist die Potenzgerade des von diesem Kreis und dem hellroten Kreis erzeugten
Kreisbüschels. Ihr Geraden-Term ergibt sich als Differenz der Terme dieser beiden Kreise, nämlich zu
.
Mit den Abkürzungen und erhält man die Geradengleichung
. Der Schnittpunkt H von k mit der Ursprungsgeraden durch A ist der
Punkt . Falls e < 1 ist, liegt H auf der Ellipse mit der Polarkoordinaten-
Gleichung . Dabei ist p der Halbparameter und e die numerische Exzentrizität. Die
Halbachsen-Längen sind folglich und . Die Brennpunkte sind die Punkte (0 ; 0) und
. k berührt diese Ellipse in H.

Die Pole der Ko-Sehne bezüglich des hellroten Kreises liegen auf dem hellblauen Kegelschnitt, der in der
Animation eine Ellipse. Der zu H gehörige Punkt J auf dieser Polkurve kann folgendermaßen bestimmt
werden:

Die Polare von J bezüglich des hellroten Kreises ist die Tangente von H an die Ko-Sehnen-Enveloppe.
Aus der Gleichung für den hellroten Kreis folgt die Polaren-Gleichung
und aus der Gleichung die Tangenten-Gleichung
. Durch Koeffizienten-Vergleich ergibt sich daraus
und



Durch Einsetzen in die Gleichung der Ko-Sehnen-Enveloppe erhält man die Kegelschnitt-Gleichung


Sei . Die Mitte der hellblauen Pol-Kurve ist
der Punkt auf der Rechtsachse mit dem x-Wert . Die Halbachsen haben
die Länge und . Die Brennpunkte liegen auf der Rechtsachse oder auf der
Senkrechten dazu durch den Mittelpunkt. Sie haben vom Mittelpunkt den Abstand .
Für positive Werte von f ist die Polkurve eine Ellipse, für negative eine Hyperbel. Die Bilder der Gleitschau
nach der Animation zeigen verschiedene Möglichkeiten. Dabei wurde folgende Daten benutzt:
Bild 1 :
Bild 2 :
Bild 3 :
Bild 4 :
Bild 5 :