Es lebe die Geometrie!

Die in den Animation gezeigten Verzahnungskurven berühren sich in Punkten der rot
gezeichneten 'Kontaktkurve'. Bei Drehung der Verzahnungskurven bewegen sich darauf
alle Kontaktpunkte. Der schwarze Punkt in der Mitte der Kontaktkurve ist der sogenannte
'Wälzpunkt'. Die Verzahnungskurven sind so konstruiert, dass folgende Bedingung erfüllt ist:

(^) Die Verbindungsgerade vom Wälzpunkt mit jedem Kontaktpunkt steht senkrecht
auf der gemeinsamen Tangente der Verzahnungskurven in diesem Punkt.

Für reale Zahnräder ist dies nach dem 'Verzahnungsgesetz' notwendig für einen Kontaktpunkt,
über den ein Zahnrad ein anderes antreibt. Andernfalls würde die Kraftübertragung nicht
stoßfrei sein. In unseren Animationen wird die Bedingung (^) für alle Kontaktpunkte auf der
Kontaktkurve verlangt. Dann ist die Form der Verzahnungskurven bei Vorgabe der Anzahl der
Zähne durch die Kontaktkurve eindeutig bestimmt.

Um das zu verstehen kann man sich folgendes Verfahren zum Zeichnen einer Verzahnungskurve
vorstellen: Man führt einen Zeichenstift vom Wälzpunkt aus an der Kontaktkurve entlang, wie beim
Schreiben einer '8'. Dabei wird unter dem Stift ein Blatt Papier um den Punkt gedreht, der das
Zentrum der Verzahnungskurve sein soll. Anstatt das Papier zu bewegen könnte man auch die
Kontaktkurve als Führungsschiene für den Stift in Gegenrichtung um das Zentrum drehen. Die
Bedingung (^) erzwingt dann ein bestimmtes Verhältnis der Geschwindigkeiten von Stift und Papier.
Die Bewegungsrichtung des Papiers muss gewechselt werden, wenn der Stift die Eckpunkte der
Kontaktkurve erreicht.

Die zu den Verzahnungskurven gezeichnete Zickzack-Kurve beschreibt die Lage der Kontaktpunkte
bei Drehung zweier Verzahnungskurven, die nach diesem Verfahren gezeichnet worden sind. Die
Bewegung der Parallelen zur Rechtsachse ist proportional zur Drehgeschwindigkeit der Zahnräder. Jede
Schnittstelle u eines Schnittpunkts K einer Parallelen mit der Zickzack-Kurve bestimmt folgendermaßen
die Lage eines Kontaktpunktes: Die sechs geradlinigen oder kreisbogenförmigen Abschnitte der
Kontaktkurve, deren Endpunkte der Wälzpunkt oder Eckpunkten der Kontaktkurve sind, werden von
0 bis 5 durchnummeriert. Die nächstkleinere ganze Zahl floor(u) unter u legt dann fest, auf welchem der
Abschnitte der Kontaktkurve der Kontaktpunkt liegt. Die Zahl u - floor(u) ist der Quotient der Weglänge
zwischen K und einem der Enden des Abschnitts sowie der Länge dieses Abschnitts.

Siehe auch:
Salow, Edzard : Zahnräder; Die Wurzel, Zeitschrift für Mathematik, FSU Jena, Juli 2011