Es lebe die Geometrie!

Momentanpol, Pol und Enveloppen bei Sehnen konstanter Länge

Die Punkte A und B auf der roten Ellipse mit den Halbachsen-Längen 1 und 0,5 sind Endpunkte einer
Sehne mit konstanter Länge, die an der Ellipse herumgeführt wird. Die Sehnengeraden AB berühren die
dunkelblaue Enveloppe (Hüllkurve) dieser Geraden. Der Berührpunkt ergibt sich aus den roten Vektoren
der Geschwindigkeiten von A und B bei dieser Bewegung. Dazu zerlegt man diese Vektoren in zwei
Komponenten parallel bzw. senkrecht zu AB. Die weiß gezeichnete Komponente parallel zu AB ist in
beiden Endpunkten gleich (d. h. gleich gerichtet und gleich lang), denn die Sehnenlänge ändert sich nicht.
Die Verbindungsgerade der Spitzen von den blau gezeichneten Vektor-Komponenten senkrecht zu AB
schneidet die Gerade AB im blauen Berührpunkt H der Hüllkurve. Wenn man bei festen Punkten A und B
die Längen der weißen Vektoren verändert, sie aber nicht verschieden lang macht, ändert sich die Lage
von H nicht. Denn dann ändern sich die Längen der roten Tangenten-Pfeile proportional zueinander, und
auch die blauen Normalen-Vektoren.

Die hellblaue Kurve ist die Spur des Pols C der Sehne AB , also der Schnittpunkt der Tangenten in A und
B. Der dunkelblau gezeichnete Fußpunkt des Lots von C auf AB hat von A den gleichen Abstand wie H
von B. Dieser Lotfußpunkt ergibt sich also durch Spiegelung von H an der Sehnenmitte. Der Pol kann allein
mit Hilfe der Tangenten-Richtungen in A und B bestimmt werden, damit auch der Lotfußpunkt und damit H.

Die hellgrüne Kurve ist die Spur des Momentanpols D der Sehne AB. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt
der Normalen in A und B, die also orthogonal zu den Tangenten stehen. H ist der Fußpunkt des Lots von
D auf AB. Die vier Punkte A, B, C und D liegen auf einem Kreis.

Der Begriff 'Momentanpol' wird in der Kinematik für den momentanen Drehpunkt bei der Bewegung eines
starren Körpers benutzt. Wenn man sich vorstellt, dass mit der Sehne konstanter Länge eine genügend
große Scheibe fest verbunden ist, die sich mit der Sehne bewegt, dann gibt es in jedem Augenblick darauf
einen Punkt mit der Geschwindigkeit Null, es sei denn, dass die Sehne momentan parallel verschoben wird.
Dieser Punkt ist der Momentanpol. In jedem anderen Punkt der Scheibe ist der Geschwindigkeitsvektor
senkrecht zur Verbindungsgeraden mit dem Momentanpol gerichtet. Daraus ergibt sich die Konstruktion
von D in der Animation. Diese Konstruktion als Schnittpunkt der Normalen in den Endpunkten einer Sehne
ist auch dann möglich, wenn sich die Länge der Sehne bei der Bewegung verändert. In dem Fall ist aber
die Bezeichnung 'Normalenpol' sinnvoller als die Bezeichnung 'Momentanpol'. Unter der Bezeichnung 'Pol'
verstehen wir im Folgenden stets den Schnittpunkt der Tangenten.


Die Animation hat drei Perioden mit unterschiedlichen Sehnenlängen. Die Längen sind nacheinander 0,75;
0,975 und 1,03. Zu jedem Ellipsen-Punkt A wurde als zweiter Sehnenendpunkt B der Ellipsen-Punkt
im gewünschten Abstand von A gewählt, der in Bewegungsrichtung am nächsten liegt.

Die auf die Animation folgenden Bilder 1 bis 3 in der Gleitschau geben einzelne Posionen der drei Perioden
der Animation wieder. Das vierte Bild verdeutlicht, dass im Grenzfall der Sehnenlänge Null die grüne
Momentanpol-Kurve in die Evolute der Ellipse übergeht, also in den geometrischen Ort der Krümmungs=
mittelpunkte.

An den Punkt A wurden hier zwei Sehnen mit gleicher Länge angeheftet, deren Endpunkte B und B'
(weiß gefüllt) vor bzw. hinter A in Bewegungsrichtung liegen, und zwar möglichst nah bei A, falls es mehr
als zwei Sehnen zu A gibt. Die blau gezeichnete Sehne BB' nennen wir 'Ko-Sehne' zum Sehnenpaar
AB, AB'. Die dunkelblaue Kurve ist die Enveloppe der Ko-Sehnen. Den blauen Berührpunkt H
kann man auch hier mit Hilfe der Geschwindigkeits-Vektoren in den Sehnen-Endpunkten geometrisch
als Schnittpunkt der Ko-Sehnen-Gerade mit der Verbindungsgeraden der Spitzen von Komponenten
bestimmen. Dabei ist zu bedenken, dass die weiß gezeichneten Vektor-Komponenten in Richtung der
Ko-Sehne im Allgemeinen nicht gleich lang sind, da sich die Ko-Sehnen-Länge ändert. Darum ist H im
Allgemeinen nicht der Fußpunkt des Lots vom grünen Normalenpol auf die Ko-Sehne. Auch liegt der
Fußpunkt des Lots vom hellblauen Pol auf die Ko-Sehne im Allgemeinen nicht symmetrisch zu H.

Die Sehen-Längen in den drei gezeigten Perioden sind 0,53; 0,837 und 0,927 bei einer Ellipse mit den
Halbachsen-Längen 1 und 0,5.

Die Punkte A und B werden hier auf unterschiedlichen Kurven geführt, nämlich A auf einem Einheitskreis
und B auf einer Durchmesser-Geraden. Die Sehne AB mit konstanter Länge simuliert hier also eine
Pleuel-Stange. Die zwei Perioden gehören zu den Sehnenlängen 1,44 und 1. Bei der Sehnenlänge 1
ist die Sehen-Enveloppe ein Hälfte einer Astroide, die Pol-Kurve ein Teil der Rechtschse und die
Momentanpol-Kurve ein Halbkreis vom Radius 2.