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Gangpolkurve

Geometrie 1 > Sehnen konstanter Länge

Gangpolkurven bei Koppelgetrieben

Zur Erklärung des Begriffs 'Gangpolkurve':

Man stelle sich eine Scheibe vor, die so über einer Zeichenebene bewegt wird, dass alle ihre Punkte
stets den gleichen Abstand von der Ebene haben. In jedem Augenblick gibt es dann einen Punkt auf
der Scheibe, der die Geschwindigkeit Null hat, vorausgesetzt, dass die Scheibe groß genug ist und
die Bewegung keine momentane Verschiebung ist. Dies ist der 'Momentanpol'. Die Spur dieses
Momentanpols in der Zeichenebene heißt 'Rastpolkurve' und die Spur auf der Scheibe 'Gangpolkurve'.
Im Allgemeinen haben diese Kurven eine unterschiedliche Form. (Unten auf der Seite werden zwei
Beispiele mit gleicher Form dargestellt.) Im Zusammenhang mit einem Koppelgetriebe stelle man
sich vor, dass die Scheibe fest mit der Koppel verbunden ist.

Wenn man die Gangpolkurve in jedem Augenblick auf die Zeichenebene überträgt, wie einen Schatten
bei senkrechter Beleuchtung, falls die Scheibe durchsichtig ist, dann haben die Rastpolkurve und die
Schatten-Gangpolkurve in jedem Augenblick den Momentanpol gemeinsam. Bemerkenswert ist dabei,
dass sich die Rastpolkurve und die Schatten-Gangpolkurve im Momentanpol stets
berühren. Bei der
Bewegung der Scheibe rollt die Schatten-Gangpolkurve ohne zu Rutschen an der Rastpolkurve ab.
Dies soll im Folgenden am Beispiel der symmetrischen Schwingkurbel und des Zwillingskurbelgetriebes
gezeigt werden.

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Bei den Koppel-Getrieben der beiden Animationen haben die Arme jeweils die Längen 1 und 2.
In der oberen Animation ist der Abstand zwischen den Endpunkten
A und B der Koppel 1 und
der Abstand der Führungskreis-Mitten
M1 und M2 gleich 2. In der unteren Animation ist es
umgekehrt. In beiden Fällen bilden
M1, M2, B und A ein Drachen-Viereck. Die dunkelgrüne
Gangpolkurve der oberen Animation hat die gleiche Form wie die hellgrüne Rastpolkurve der
unteren Animation, und umgekehrt. Auf der vorherigen Seite wird gezeigt, dass beide Kurven
pascalsche Schnecken sind.

Zur rechnerischen Bestimmung der Gangpolkurve, wenn in jedem Zeitpunkt t der Bewegung die
Lagen der Punkte
A, B und des Momentanpunkts C in der Zeichenebene durch komplexe
Zahlen
a(t), b(t) und c(t) gegeben sind und s die Länge der Koppel AB ist:

In einem Koordinatensystem, das fest mit der Scheibe verbunden ist, z.B. mit dem Ursprung in
A
und
AB als Achse, bleiben die Koordinaten von A und B unverändert. Die komplexe Zahl , die
in diesem Koordinatensystem dem Momentanpunkt zum Zeitpunkt t zugeordnet ist, wird durch
berechnet. Die Schatten-Gangpolkurve zum Zeitpunkt ist dann durch die
Funktion gegeben.


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Bei einem Zwillings-Kurbelgetriebe stimmt die Koppellänge AB mit dem Abstand der
Führungskreis-Mitten
M1 und M2 überein und auch die Armlängen sind gleich. Darum
haben die Gangpolkurve und die Rastpolkurve die gleiche Form, Beim gleichläufigen
Zwillings-Kurbelgetriebe, bei dem die Koppellänge kleiner als die Armlänge ist, sind die
Kurven kongruente Ellipsen, die aneinander abrollen.


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Beim gegenläufigen Zwillings-Kurbelgetriebe ist die Koppellänge größer als die Armlänge.
Darum sind die Rastpolkurve und die Gangpolkurve aneinader abrollende kongruente Hyperbeln.



Die Animation zeigt die Gangpolkurve eines Koppelgetriebes mit den Armlängen 1 und 1,23,
der Koppel-Länge 1,512 und dem Abstand 1,65 der Kreis-Zentren.


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