Es lebe die Geometrie!

Winkel und Abstand von Kreisen

Die symmetrische Bilinearform ,
die am Schluss der vorhergehenden Seite zur Definition der Spiegelungen im dreidimensionalen
projektiv-metrischen Raum benutzt wurde, verwenden wir auch für die Definition von Winkel-Größen
und Abstände bei Kreisen in der x-y-Ebene. Dabei stimmen die Winkel-Größen mit denen überein,
die sich aus der euklidischen Maß-Bestimmung in der x-y-Ebene ergeben. Die Abstände kommen
dagegen in der euklidischen Geometrie nicht vor. Sie gehören zur hyperbolischen Geometrie. In der
folgernden Animation wird gezeigt, wie dieser 'hyperbolische Abstand' sich auf euklidische Abstände
zurückführen lässt

Dem Kreis KA mit dem Zentrum A(x;y) und dem Radius r haben wir im dreidimensionalen affinen Raumes
den Punkt RA(x;y;z) zugeordnet, für den ist. Zu den Null-Kreisen vom Radius Null, die
wir in der x-y-Ebene den Punkten zuordnen, gehören dann die Punkte des Paraboloids Par mit der Gleichung
. Jeder Raum-Punkte darüber gehören zu einem 'reellen' Kreis mit reellem Radius r > 0 und
jeder darunter zu einem 'imaginären' Kreis mit dem rein-imaginären Radius mit r > 0. Den Raum-Punkt
auf der Parallelen zur z-Achse durch den Punkt
nennen wir Anti-RA. Der Null-Kreis zum Punkt A gehört dann zum euklidischen Mittelpunkt von RA und
Anti-RA. Die Zeichnungen der zugeordneten Kreise zu RA und Anti-RA unterscheiden sich nur darin, dass
wir den imaginären Kreis zu Anti-RA in hellerer Farbe zeichnen.

Das Koordinaten-Tripel (x;y;z) eines Punktes P des dreidimensionalen affinen Raum erweitern wir zu dem
Quadrupel (x;y;z;1), das P im dreidimensionalen projektiven Raum beschreibt, in dem die 'unendlich fernen'
Punkte die vierte Komponente Null haben. Wenn u eine reelle Zahl ungleich Null ist, beschreibt das
Quadrupel den gleichen Punkt P. Quadrupel, die sich nur in einem Faktor ungleich
Null unterscheiden, werden also identifiziert. Ein Quadrupel mit beschreibt also
den Punkt zu Tripel .

Ein Quadrupel p nennen wir f-normiert oder fn-Quadrupel, wenn f(p;p) gleich 1 oder -1 ist. Jedes Quadrupel
p mit ungleich Null kann dadurch f-normiert werden, dass man es durch
teilt. Wenn sich 1 ergibt, gehört P zu einem reellen Kreis , andernfalls zu einem imaginären. f(p;p) ist das
Quadrat vom reellen bzw. imaginären Radius des zu P gehörigen Kreises.

Zur Berechnung von Winkeln und Abständen benutzen wir die Funktion .
Für Kreise um mit dem Radius und um mit dem Radius
ist
,
also .
Dieser Wert stimmt für reelle Radien mit dem Kosinus-Wert der euklidischen Größe des Winkels zwischen
der beiden Kreisen überein, falls sie Punkte gemeinsam haben. Andernfalls ist der Betrag von fn(p;q)
größer als 1 oder fn(p;q) rein-imaginär. In beiden Fällen ist arccos(fn(p;q)) bis auf ganzzahlige Vielfache von
rein-imaginär.Dann deuten wir den Imaginär-Teil davon als 'Abstand' der beiden Kreise und auch der
Raumpunkte. Wir definieren:


Die folgende Animation stellt die Maß-Beziehungen im räumlichen Zusammenhang mit Zahlen dar. Dabei sind
die angezeigten Abstände von Punkten P und Q am markierten Mittelpunkt von PQ fixiert.

Im ersten Teil der Animation wird der Raum-Punkt RP1 zum Kreis K1 um P1 auf der roten Raum-Geraden
g bewegt, ohne den Raum-Punkt RP2 auf g zum Kreis K2 um P2 zu verändern. Dabei ändern sich die
Schnittpunkte von K1 und K2 nicht. Ihre Koordinaten sind unten auf dem Bild angegeben. Die Größe des
Schnittwinkels der Kreise kann mit dem Kosinus-Satz im Dreieck in der x-y-Ebene mit den Eckpunkten P1,
P2 und einem der beiden Kreis-Schnittpunkte berechnet werden. Dabei bestätigt sich die oben behauptete
Berechnung mit Hilfe der Bilinearform f.

Im ersten Bild des zweiten Teils der Animation wird die schwarze Parallele c zur z-Achse hinzugefügt, die wir
'Zentrale' von g nennen. c trifft g in dem Punkt C, der auf g vom Paraboloid Par minimal entfernt ist. g wird
im zweiten Teil längs c nach unten verschoben, ohne die Position von RP1, RP2 und C auf g zu verändern.
Dabei rücken die Kreis-Schnittpunkte zusammen bis sie aufeinander fallen, wenn g Par berührt. Wenn g Par
anschließend in den zwei unten im Bild angegebenen Punkten schneidet, gibt es keine Kreis-Schnittpunkte
mehr. Es wird darum keine Winkel-Größe, somdern der Abstand von K1 und K2 angezeigt. Wenn g Par
schneidet, ist C Mittelpunkt der Schnittpunkte S1 und S2.

Im dritten Teil der Animation wird neben der Berechnung des hyperbolischen Abstands von Raumpunkten
oder Kreisen mit fn eine Bestimmung mit Hilfe des euklidischen Abstands von RP1 und RP2 zu S1 und S2
gezeigt. Wenn wir zur Angabe dieser euklidischen Abstände Betrag-Striche benutzen, ergibt
den hyperbolische Abstand von RP2 und RP1.

In den letzten drei Teilen der Animation wird der Raumpunkt RP2 durch einen Raumpunkt RP3 auf der blauen
Geraden h ersetzt, die wir 'polar' zu g nennen. h schneidet wie auch g die Zentrale und zwar so, dass der
Mittelpunkt M der Schnittpunkte C* bzw. C auf Par liegt und g und h parallel zur Tangential-Ebene von M
an Par sind. Die Bilder von g und h bei der Projektion parallel zur z-Achse auf die x-y-Ebene sind euklidisch
orthogonal. Die beiden Tangential-Ebenen an Par durch h berühren Par in den Punkten S1 und S2 auf g. Die
Tangenten C*S1 und C*S2 an Par sowie die tangentialen Verbindungen von RP3 mit S1 und S2 sind blau
eingezeichnet.

Im ersten Bild des vierten Teils der Animation wird gezeigt, dass die Kreise K3 zu RP3 und K1 orthogonal
sind. Die anschließende Bewegung von RP3 auf h ändert daran nichts. K3 inzidiert in jeder Position von RP3
auf h mit den Punkten in der x-y-Ebene, die zu S1 und S2 auf Par gehören.

Wenn im fünften Teil RP1 auf g bewegt wird, bleibt die Orthogonalität erhalten, solange K1 reell ist. Daraus folgt,
dass das Bild von h bei Projektion parallel zur z-Achse auf die x-y-Ebene Potenz-Gerade aller reellen Kreise zu
Raum-Punkten auf g ist. Wenn RP1 sich dagegen unterhalb von Par befindet, ist der zugehörige imaginäre Kreis
nicht orthogonal zu K3, schneidet K3 aber auf einem Durchmesser von K1.

Im letzten Teil der Animation wird der fünfte Teil umgekehrt durchlaufen, aber dabei RP1 durch Anti-RP1 ersetzt.

Zur Berechnung von Geraden, die zueinander polar sind:

Wir legen hier die Bilinearform zu Grunde, der bei der
Darstellung der Kreis-Geometrie über die stereographische Projektion von Kreisen auf der Kugel in
den vorangehenden Seiten die Form entspricht, die auch in
der speziellen Relativitäts-Theorie benutzt wird. Zwei Geraden sind dort zueinander polar, wenn ihre
Richtungs-Vektoren euklidisch orthogonal sind und das Produkt ihrer Abstände vom Einheits-Kugel-
Zentrum gleich 1 ist. Wenn die Kugel durch das Paraboloid Par mit der Gleichung
ersetzt wird, übernimmt die Projektion parallel zur z-Achse auf die x-y-Ebene die Rolle der
stereographischen Projektion. Die Bilder zueinander polarer Geraden g und h sind dann euklidisch
orthogonal und die Zentrale durch den Schnittpunkt der Bilder parallel zur z-Achse trifft g und h in
Punkten, deren Mittelpunkt auf Par liegt.

M sei die am Schluss der vorangehenden Seite definierte Maß-Matrix M zu f. Wenn D und E zwei Ebenen
durch g sind, dann verbindet die dazu polare Gerade h die Pole von D und E. Deren Quadrupel sind d.M
und e.M. Wenn P und Q verschiedene Punkte auf g sind, dann ist h die Schnitt-Gerade der dazu polaren
Ebenen mit den Quadrupeln p.M und q.M. Wenn g durch ein Tripel-Paar
in Plücker-Koordinaten gegeben ist, dann hat h das Tripel-Paar .