Es lebe die Geometrie!

Kugelkreis-Dreiseite mit Mittelsenkrechten, Seitenhalbierenden,
Winkelhalbierenden und Höhen

--> Die Pseudosphäre und die hyperbolische Geometrie
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Hyperbolische_Geometrie.pdf

In den folgenden Animationen sind drei Punkte A, B und C auf der Kugelfäche um den Punkt (0;0;0) mit
dem Radius 1 gegeben. Der gelb umrandete schwarze Punkt Z bestimmt dazu ein Kugelkreis-Dreiseit, falls
er nicht in der durch A, B und C bestimmten Ebene liegt. Die Seite a des Dreiseits ist der Schnittkreis der
Kugelfläche mit der Ebene durch B, C und Z. Die Seiten b und c werden analog definiert. Wir bezeichnen
dieses Dreiseit als Z-Dreiseit zu ABC.

Wenn Z außerhalb der Kugel liegt, schneidet die zu Z polare Ebene die Kugel in einem Kreis, der in allen
folgenden Animationen schwarz eingezeichnet ist. Die Seiten-Kreise a, b und c sind dazu orthogonal, und
auch die Kreise, die im Folgenden als Z-Mittelsenkrechte, Z-Seitenhalbierende, Z-Winkelhalbierende und
Z-Höhen definiert werden.

In den Animationen werden oben links bzw. rechts die zugehörigen Bilder im Klein- bzw. Poincare-Modell
gezeigt. Sie entstehen durch Zentralprojektion der Kugelfläche auf die Tangentialebene im Nordpol, wobei
das Zentrum Z bzw. der Südpol ist. Bei der Bewegung von Z bleiben die Kugelflächen-Punkte A, B und C
unverrückt, ihre Bilder im Klein-Modell und im Poincare-Modell ändern sich aber.

Unter der Z-'Mittelsenkrechten' zu den Kugelflächen-Punkten A, B verstehen wir den Kugelflächen-Kreis
in der Ebene durch Z, welche die zur Geraden AB polare Gerade enthält. Diese Z-'Mittelsenkrechte' ist also
orthogonal zu allen Kugelflächen-Kreisen durch A und B. Die Animation zeigt, dass in einem Z-Dreiseit zu
Kugelflächen-Punkten A, B und C die drei Z-'Mittelsenkrechten' zwei Kugelflächen-Punkte gemeinsam haben,
deren Verbindungsgerade durch Z geht. Auf dieser Verbindungsgeraden liegt auch der Pol des Kreises durch
A, B und C. Für das Klein-Modell oben links und das Poincare-Modell oben rechts folgt die entsprechende
Aussage. Dabei ist das Bild des Umkreises von A, B und C beim Poincare-Modell ebenfalls ein Kreis, beim
Klein-Modell aber im Allgemeinen eine nicht kreisförmige Ellipse, es sei denn, dass Z auf der Kugelfläche liegt.
Das schwarze Bild des zu Z polaren Kugel-Kreises ist im Poincare-Modell orthogonal zu den Seiten-Kreisen.
Im klassischen Klein-Modell begrenzt der schwarze Kreis die Punktmenge des Modells.

Hier wird gezeigt, dass in dem Z-Dreiseit abc auch die Z-'Seitenhalbierenden' zwei Kugelflächen-
Punkte gemeinsam haben, deren Verbindungsgerade Z enthält. Dabei ist die Z-'Seitenhalbierende'
von a definiert als Schnittkreis der Kugelfläche mit der Ebene durch A und die beiden Schnittpunkte
von a mit der zugehörigen Z-'Mittelsenkrechten'.

Eine Z-Winkelhalbierende' zu den Kugelflächen-Kreisen a und b ist eine der beiden Kreise auf der
Kugelfläche durch die Schnittpunkte von a und b, die mit a und b Winkel einschließen, deren
euklidischer Größen-Betrag gleich ist. Die Animation zeigt, dass drei Z-Winkelhalbierende' des Dreiseits
abc durch die Eckpunkte C, A und B zwei Punkte gemeinsam haben. Auf der Verbindungsgeraden
dieser beiden Punkte liegt der Pol eines Kugelflächen-Kreises, der a, b und c berührt.
Die Bilder der Z-Winkelhalbierenden' bei der stereographischen Projektion sind im Poincare-Modell
Kreise, die mit den Seiten-Kreisen Winkel vom gleichen euklidischen Größen-Betrag einschließen.
Im Klein-Modell sind die Winkelhalbierenden Geraden, die mit den Seitengeraden Winkel bilden,
deren Größen-Betrag nur für Z im Südpol euklidisch gleich ist, für Z innerhalb bzw. außerhalb der
Kugel aber nur bei elliptischer bzw. hyperbolischer Messung übereinstimmen. Die Winkelgrößen
stimmen in jedem Fall mit den euklidischen Messwerten auf der Kugelfläche überein.

Auch die Z-'Höhen' schneiden sich im Z-Dreiseit abc. Die Z-'Höhe' zu a ist der Schnittkreis der
Kugelfläche mit der Ebene durch A, Z und dem Pol von a.