Es lebe die Geometrie!

Reguläre Fourier-Polygone mit alternierenden Seitenlängen

Unter einer {-m ; m}-Zykloide (m >1) verstehen wir die Drehpunkt-Kurve der Drehpunkfunktion
oder eine Kurve, die daraus durch eine Drehstreckung entsteht. Auf dieser Seite wird
dargestellt, wie sich ausgehend von einer {-m ; m}-Zykloide durch Addition weiterer Sinus-Terme
zur Drehpunktfunktion das regelmäßiges Polygon PS(2n ; m ;1) ergibt, dessen Drehpunktfunktion
die Treppenfunktion ist. Da die Treppenfunktion zwischen den
Werten +1 und -1 hin- und herspringt, ist es sinvoll, bei der Angabe der Seitenlängen des Ziel-Polygons
negative Werte zuzulassen. Die Seiten haben dann abwechselnd die Längen 2 und -2, den Differenzen
der Stufenhöhen an den Sprungstellen entsprechend. Die Umfangslänge aller dieser Polygone ist darum
gleich Null.

Die Evolute der blauen Drehpunktkurve ist orange gezeichnet.

Die fünf Perioden der Animation gehören zu den Drehpunktfunktionen
,
,
,
und

Diese Funktionen nähern sich der Grenzfunktion , deren
Drehpunktkurve das Quadrat PS(4 ; 2 ; 1) mit den Seitenlängen 2 , -2 , 2 und -2 ist.

Die Gleitschau zeigt im Anschluss an die Animation Standbilder daraus.

Die Animation zeigt Näherungsfunktionen zu . Die Startfunktion
hat als Drehpunktkurve eine Steiner-Zykloide, die in einer Periode
zweimal durchlaufen wird, wobei die Pfeilrichtungen beim zweiten Durchlauf gegenüber dem ersten
vertauscht sind. Entsprechend wird das regelmäßige Dreieck PS(6; 3 ; 1) , das die Drehpunktkurve
zur Grenzfunktion darstellt, zweimal durchlaufen. Es stellt also
eigentlich ein Sechseck mit der Überschlagungszahl 2 dar, bei dem jeweils zwei Seiten übereinander
liegen, deren Längen den Betrag 2, aber ein unterschiedliches Vorzeichen haben.

Die Gleitschau zeigt die Drehpunktkurven zu den Funktionen
für m = 2, 3, 4, 5 und 6.
Es sind Näherungskurven der regulären Polygone PS(2m ; m ; 1), deren Seitenlängen alternierend
2 und -2 sind. Die Überschlagungszahl dieser 2m-Ecke ist m -1. Bemerkenswert ist hier, dass sich
überschlagene Polygone ergeben, obwohl das Definitionsintervall nur von 0° bis 360° reicht. Dies
wäre bei ausschließlich positiven Seitenlängen nicht möglich.