Es lebe die Geometrie!

Kachelungen im Kreis-Modell, die mit Nachbar-Bewegungen aus einem
Viereck mit der Signatur 3412 oder -34-12 erzeugt werden

Die Signatur -34-12 dieser Animation bedingt, dass es eine ungerade hyperbolische Kongruenz-
Abbildung gibt, welche die Seite 3 irgendeiner Kachel der Kachelung in die Seite 1 abbildet, und eine
gerade hyperbolische Bewegung, bei der die Seite 2 das Bild der Seite 4 ist. Folglich sind gegenüber
liegende Seiten stets gleich lang. Darum hat jede der Kacheln einen Symmetriepunkt, nämlich den
Schnittpunkt der Diagonalen. Dieser ist auch der Schnittpunkt der 'Verbindungsgeraden' (d.h. Kreise
orthogonal zum Einheitskreis) gegenüberliegender Seitenmitten.

Die graue Ausgangskachel K0 der Kachelung hat für den Eckpunkt Nummer 4 im Zentrum des
Einheitskreises das folgende Ketten-Schema:
.
B2 sei die gerade hyperbolische Kongruenz-Abbildung, welche die Seite 2 von K0 in die Seite 4 von K0
abbildet, Das Bild K1 von K0 bei B2 ist dann die Nachbar-Kachel von K0 an der Seite 4 von K0. Diese
Seite hat in K1 die Nummer 2. B2 ist eine hyperbolische Translation (Verschiebung). Dies bedeutet, dass
B2 sich als Hintereinanderschaltung von zwei hyperbolischen Spiegelungen an Punkten P und Q darstellen
lässt, deren 'Verbindungsgerade' (also der zum Einheitskreis senkrechte Kreis durch P und Q ) 'Achse' der
Translation genannt wird. Diese Achse wurde im ersten Bild der Animation rot gezeichnet mit einer
Verdickung für die Verbindungsstrecke der hyperbolischen Mittelpunkte der Seiten 2 und 4, deren
hyperbolische Länge die Verschiebungslänge angibt. Wenn P der Mittelpunkt der Seite 2 ist und Z0 der
Mittelpunkt der Verschiebungsstrecke (der Symmetrie-Zentrum von K0 ist (siehe oben)), dann ist die
Translation die Hintereinanderschaltung der Spiegelungen an P und Z0, denn dies ist eine gerade Nachbar-
Bewegung, welche die Seite 2 der grauen Ausgangskachel K0 in die Seite 4 von K0 abbildet , und diese
ist eindeutig bestimmt.

Im Uhrzeigersinn schließt in K1 an die Seite 2 von K1 deren Seite 1 an. Diese hat die Spitze im Mittelpunkt
des Einheitskreises, der also der Eckpunkt mit der Nummer 1 und dem Innenwinkel ist. Die Nachbar-
Kachel von K1 an ihrer Seite 1 ist die Kachel K2. Sie ist das Bild der ungeraden hyperbolischen Bewegung,
welche die Seite 3 von K1 in ihre Seite 1 abbildet. In K2 erfolgt die Seiten-Nummerierung darum anders als
bei K0 und K1 im Uhrzeigersinn, d.h. K2 ist negativ orientiert. Die Seiten-Nummern haben darum ein Minus-
Zeichen, so dass also die Seite 1 von K1 mit der Seite -3 von K2 zusammenfällt. Die Bewegung C, die K1
auf K2 abbildet, ist eine hyperbolische Gleitspiegelung. Das heißt, sie kann als Hintereinanderschaltung von
Spiegelungen an einem Punkt und einer 'Geraden' dargestellt werden. Die Hintereinanderschaltung der
Spiegelungen am Symmetriezentrum Z1 von K1 und der 'Geraden' g, auf der die Seite 1 liegt, bildet die
Seite 3 von K1 auf die Seite 1 von K1 ab. Sie stimmt darum mit C überein, denn es gibt höchstens eine
ungerade Nachbar-Bewegung mit dieser Eigenschaft. Die 'Gerade' durch Z1, welche senkrecht auf g steht,
ist die eindeutig bestimmte 'Gerade', die durch C auf sich abgebildet wird. Sie wird als 'Achse' der
Gleitspiegelung bezeichnet und ist in der Animation grün eingezeichnet. Da die Umkehr-Abbildung von C die
gleiche Achse hat und die Seite 1 von K1 auf die Seite 3 von K1 abbildet, ist die Achse auch orthogonal zur
Seite 3. Da K0 und K1 hyperbolisch kongruent sind, gilt Entsprechendes auch für die Kachel K0.

Wenn B1 die Gleitspiegelung bezeichnet, welche die Seite 3 von K0 auf die Seite 1 von K0 abbildet,
dann stimmt C mit folgender Hintereinanderschaltung überein: Erst die Umkehrabbildung von B2, dann B1,
dann B2. Die Abbildung, die K0 in K2 abbildet ist darum die Hintereinanderschaltung von B1 und B2. Die
Reihenfolge der Seiten-Nummern, über die bewegt wird, ist also hier umgedreht. Diese Umkehrung der
Reihenfolge zeigt sich auch, wenn über mehr als zwei Seiten bewegt wird.

Das oben angegebene Ketten-Schema wiederholt sich nach vier Stufen periodisch. In einer Periode werden
die vier Innenwinkel mit den Größen bis im Zentrum des Einheitkreises aneinander gesetzt. Damit es
nach mehreren Perioden nicht zu Überschneidungen der Kacheln kommt, muss es eine natürliche Zahl n
geben mit .

Die Animation zeigt eine Kachelung mit n = 2. Dabei haben die Seiten der Kacheln zunächst die Form von
Kreisbögen. Diese werden anschließend so deformiert, dass das Bild eines eckigen Wolfes entsteht. Auch
dann sind gegenüberliegende Seitenkurven hyperbolisch kongruent. Dies gilt auch für alle Wolfskacheln. Das
Bild 1 der Gleitschau zeigt eine weitgehende Füllung des Einheitskreises mit Kachel, die von Kreisbögen
berandet werden und das Bild 5 die entsprechende Kachelung mit Wolfskacheln. In den Bildern 2 und 6 sind
die gleichen Kacheln nur anders gefärbt, und zwar in Grau bei positiv orientierten Kacheln und in Blau bei
negativ orientierten. Dabei entstehen zusammenhängende grau und blaue Flächen, die jeweils in zwei Punkten
des Einheitskreises enden. Diese beiden Punkte sind die Enden der grün gezeichneten Translations-Achsen,
an denen die grauen bzw. blauen Kacheln in gegenüberliegenden Seitenmitten aufgefädelt sind. Von einer
dieser Kacheln zur nächsten in der Reihe gelangt man durch die gleiche Nachbar-Translation. Entsprechend
sind die roten 'Geraden' (Kreisbögen) Gleitspiegelungs-Achsen, welche alternierend graue und blaue Kacheln
so auffädeln, dass die Seiten senkrecht gekreuzt werden.

Die Bilder 3 und 4 der Gleitschau zeigen Kachelungen zur gleichen Signatur, bei denen aber die Summe der
Innenwinkel nicht 180°, sondern 120° bzw. 90° beträgt. Bei Bild 3 fällt auf, dass sich hier die schwarz
gezeichneten Seiten nicht zu hyperbolischen 'Geraden' zusammenschließen, da hier n nicht geradzahlig ist.

Zu der Signatur 3412 dieser Animation gehört das Ketten-Schema
. Auch hier muss es darum eine
natürliche Zahl n geben mit . Alle Nachbar-Bewegungen sind Translationen,
welche eine Kachel-Seite in die gegenüberliegende abbilden.

Bei diesen Kachelungen zur Signatur 3412 ist bemerkenwert, dass alle Innenwinkel die gleiche
Größe 45° haben. Eine unvollständige Kachelung wird in der Animation durch Translationen
längs der Rechts-Achse verschoben. Die Gleitschau zeigt anschließend mehrere Einzel-Bilder.