Es lebe die Geometrie!

Vektoren und Distanzkreise bei der Zykloidenkette
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Die dunkelblaue Steiner-Zykloide und die rote Astroide ergeben sich als Bahnkurven von Überlagerungen
von zwei gleichförmigen Kreisbewegungen. Die Pfeile zur Darstellung der Kreisbewegungen haben bei der
Steiner-Zykloide die Längen 2 und 1, wobei sich der kurze Pfeil sich doppelt so schnell dreht wie der lange.
Bei der Astoide ist das Verhältnis der Pfeillängen 3 : 1 und das der Winkelgeschwindigkeiten 1 : 3. Die
Verbindungsgerade der Spitzen der kurzen Pfeile mit der Länge 1 ist stets Tangente der Astroide. Einer der
beiden Winkel zwischen den Tangenten in den beiden Pfeilspitzen ist stets halb so groß wie der Winkel,
den der lange Pfeil mit der Hochachse einschließt. Wenn die beiden Pfeilspitzen sich in einer Spitze der
Steinerzykloide treffen, zeigen die roten Pfeile in die gleiche Richtung, und der blaue Pfeil mit der Länge 1
ist dann parallel zur Hochachse.

Wenn die beiden Pfeilspitzen sich in einer Spitze der blauen Zykloide treffen, zeigen die blauen Pfeile in
entgegengesetzte Richtungen, und der tote Pfeil mit der Länge 1 ist dann parallel zur Hochachse.

Hierlaufen zwei Punkte A und B auf dem Kreis mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Kreis.
Das Verhältnis der Winkelschwindigkeiten von B zu A ist -2, das heißt dass B doppelt soschnell in
entgegengesetzter Richtung läuft wie A. Der Punkt Z teilt die Strecke AB im Verhältnis 1:2. Das hat
zur Folge, dass Z sich stets senkrecht zur Strecke AB bewegt. Die Spur von Z ist eine Steiner-Zykloide.

Hier bewegt sich der Punkte B ebenfalls doppelt so schnell wie A, jedoch in der gleichen Richtung.
Der Punkt Z liegt auch hier auf der Geraden AB, jedoch außerhalb der Strecke AB jenseits von A.
Auch hier ist aber der Abstand von B doppelt so groß wie der von A. Z bewegt sich wie bei der
Steiner-Zykloide senkrecht zur Geraden AB. Die Spur von Z ist eine Kardioide (Herzkurve).

Diese Animation zeigt den Zusammenhang zwischen Steiner-Zykloide (m = -3) und Astroide (m = -4) bei
der Zykloiden-Verkettung. Die Punkte und laufen mit gleicher Winkelgeschwindigkeit auf dem
Rastkreis der Steiner-Zykloide bzw. der Astroide. Sie liegen gemeinsam auf der pinkfarbenen Geraden
durch den Wälzpunkt im Koordinaten ursprung. Die Punkte und laufen in entgegengesetzter
Richtung auf den Rastkreisen mit doppelter bzw. dreifacher Geschwindigkeit. Die Strecke bzw.
wird von bzw. im Verhältnis 1 : 2 bzw. 1 : 3 geteilt. Die Spuren von und sind die
beiden Zykloiden. Der Punkt entsteht durch Spiegelung von an . liegt auf der Geraden
. Die Tangente in geht durch und steht senkrecht auf . Der Distanzkreis um
mit dem Radius geht durch . Er hat nur den Punkt mit der Steiner-Zykloide gemeinsam.

Hier wird die Rolle des Distanzkreises an Hand der verketteten 3- bzw. 4-Zykloide gezeigt.