Es lebe die Geometrie!

Sehnenführung mit einem Geraden- oder Ellipsen-Paar

Die Punkte A und B sind Endpunkte der dick schwarz gezeichneten Sehne mit der Länge s. Sie ist einerseits
Sehne eines Gangkreises mit dem Radius 0,5, der innen an einem Rastkreis vom Radius 1 ohne zu Rutschen
abrollt. Andererseits ist sie Sehne der beiden roten Ursprungsgeraden g und h, die einen Winkel mit der Größe
arcsin(s) einschließen. Die Rechtsachse und die Hochachse sind Winkelhalbierende von g und h. Die blaue
Kurve ist die Enveloppe der Sehnengeraden. Die Senkrechten zu den Geraden AB im blauen Berührpunkt H
haben die magentafarbige Kurve als Enveloppe. Sie ist eine Astroide mit der blauen Kurve als Evolvente. Die
Schnittpunkte der Achsen mit diesen Senkrechten zu AB in H haben alle den Abstand 2.

In der ersten Periode der Animation ist s = 1, folglich die Sehne AB ein Durchmeser des Gangkreises und die
dunkelblaue Hüllkurve die Bogenmitten-Evolvente der magentafarbigen Astroide, die selbst eine Astroide ist.
In der zweiten und dritten Periode ist s = 0,76. Die dunkelblaue Kurve ist dann ebenfalls eine Evolvente der
magentafarbenen Astroide, aber selbst keine Zykloide. Der Berührpunkt H ergibt sich dann als Endpunkt des
blauen Pfeilzugs aus Pfeilen mit den Längen 0,75, 0,25 und . Der erste Pfeil dieses blauen Pfeilzugs
hat die Winkelgeschwindigkeit der Gangkreis-Mitte, der zweite eine im Betrag dreimal so große in Gegenrichtung
und der dritte eine gleich große in Gegenrichtung. Die blaue Kurve ist darum der Graph der Funktion, die in
komplexer Form durch gegeben ist. Die Spitze des zweiten Pfeils
zeichnet die hellblaue Bogenmitten-Evolvente. Die Punkte A und B sind Endpunkte der beiden roten Pfeilzüge,
deren Pfeile alle die Länge 0,5 haben. Die zweiten Pfeile dieser Pfeilzüge haben stets die gleiche Richtung wie
der erste Pfeil des blauen Pfeilzugs. Die ersten roten Pfeile bewegen sich mit gleichem Geschwindigkeits-Betrag
dazu in Gegenrichtung. Sie sind stets parallel und gleichlang mit den Pfeilen, welche die Gangkreismitte mit
A und B verbindet. Die Funktionsbeschreibung der Endpunkte ist .

In der ersten Periode wird noch einmal eine Sehne der Länge s = 0,76 mit Endpunkten A und B auf zwei
Ursprungsgeraden gezeigt. Der zusätzlich eingezeichnete Kreis ist der Krümmungskreis der blauen
Astroiden-Evolvente im Berührpunkt H. In der zweiten und dritten Periode liegen die Sehnen-Endpunkte
A und B nicht mehr auf Führungs-Geraden, sondern auf Führungs-Ellipsen. Sie entstehen dadurch, dass in
den Funktionsbeschreibungen für A und B der Term unter der Wurzel durch ersetzt wurde,
so dass sich ergibt. Für die beiden verschiedenen Vorzeichen
von i bekommt man zwei zur Rechtsachse symmetrische Ellipsen mit dem Zentrum im Ursprung, wobei der
Punkt auf der Elipsen-Hauptachse liegt. Die Sehne hat dann ebenfalls eine
konstante Länge, und zwar s = 0,48 für die zweite Periode und 1,12 für die dritte. Die Enveloppe der Sehnen
ist der Graph der Funktion . Sie ist ebenfalls eine Astroiden-
Evolvente. Dass der Term unter der Wurzel hier stets größer als 1 ist, kann an der Enveloppe daran erkannt
werden, dass es in der davon eingeschlossenen Fläche Punkte gibt, die gegen den Uhrzeigersinn umlaufen
werden. Im Grenzfall s = 0 ergibt sich eine Evolvente, bei der sich die beiden zur Rechtsachse symmetrisch
gelegenen Bögen im Ursprung berühren.

Bei der Sehnenlänge ergibt sich als Sehnen-Enveloppe die blaue Spitzen-Evolvente der
magentafarbigen Astroide. Sie berandet eine konvexe Menge und hat eine besondere geometrische
Eigenschaft:
Alle Tangenten-n-Ecke mit der gleichen Winkelgröße 180° - 360°/n für Winkel zwischen aufeinander
folgenden Seiten haben die gleiche Umfangslänge. Insbesonder ist die Kurve ein Triphil, was bedeutet,
dass die Seiten aller regelmäßigen Tangenten-Dreiecke gleich lang sind.

Im Unterschied zu der grünen Ellipse, auf der alle Sehnen-Mitten liegen, hat die Spitzen-Evolvente in den
Astroiden-Spitzen den Krümmungsradius Null. Die Evolute (= geometrischer Ort der Krümmungskreis-
Mittelpunkte) der grünen Ellipse entsteht aus der Astroide durch Streckung in x-Richtung mit dem Faktor
0,75 und anschließender Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 1,5.

Die roten Pfeilzüge mit den Endpunkten in A bzw. B haben Pfeile mit den Längen 2 und 0,5. Dabei
sind die ersten Pfeile orthogonal zueinander und die zweiten parallel.