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Höhen im 6-Rechteck

Geometrie 1 > elliptische Raumgeraden

Höhen im 6-Rechteck mit elliptischen,
euklidischen und hyperbolischen Raumgeraden


-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum I'
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_I.pdf

Die Sätze der ebenen euklidischen Dreiecks-Geometrie lassen sich in die Geometrie der Raumgeraden
übertragen, und zwar sowohl bei einer euklidischen Maßbestimmung, als auch bei einer hyperbolischen
oder elliptischen. Siehe dazu auch die Seiten ' euklidische Raumgeraden > Höhen im 6-Rechteck' und
'hyperbolische Raumgeraden > Höhen im 6-Rechteck' . Bei dieser Übertragung wird jeder Eckpunkt
des Dreiecks in eine Raumgerade übersetzt, welche die beiden Raumgeraden orthogonal schneidet, die
den anliegenden Seiten-Geraden des Eckpunkts entsprechen. Eine gemeinsame normierbare Orthogonale
normierbarer Raumgeraden g und h nennen wir auch 'Achse von g und h'. Wenn g und h euklidisch oder
elliptisch parallel sind, gibt es unendlich viele Achsen. Sonst gibt es bei euklidischen Raumgeraden genau
eine Achse, bei hyperbolischen oder elliptischen Raumgeraden keine Achse oder genau ein Achsen-Paar
aus zueinander polaren normierbaren Geraden.

Der Abstand zwischen zwei Punkten im Dreieck entspricht einem Paar reeller Zahlen mit folgender
Bedeutung: Die erste Zahl ist die Maßzahl des Winkels zwischen g und h, gemessen längs der Achse
als Drehwinkel der Schraubung, die g in h abbildet. Die zweite Zahl gibt den Abstand der Lotfußpunkte
einer Achse der den Punkten zugeordneten Raumgeraden g und h an. Der Größe des Winkels zwischen
zwei Seiten-Geraden im Dreieck entspricht ebenfalls ein derartiges Zahlen-Paar.

Die Übertragung des Dreiecks ergibt ein räumliches 6-Eck
ABCDEF mit drei den Seiten-Geraden
zugeordneten Raumgeraden
BC, DE und FA und den Achsen CD, EF und AB dazwischen, die den
Eckpunkten des Dreiecks zugeordnet sind. In der folgenden Animation stimmt die Farbe der Raumgeraden
mit der des jeweils zuerst genannten Punktes überein. Die beiden Zuordnungen 'punkt-analog' und
'geraden-analog' hätten genauso gut vertauscht werden können.

Dass diese Übertragung möglich ist, liegt daran, dass die Relationen zwischen Spiegelungen an Punkten und
an Geraden beim Dreieck weitgehend den Relationen zwischen Spiegelungen an Raumgeraden gleichen.
Darum lassen sich spiegelungs-geometrische Beweise für Sätze der Dreiecks-Geometrie für Raumgeraden
umschreiben.


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Die Animation zeigt ein 6-Rechteck ABCDEF und ein zugordnetes euklidisches Analogie-Dreieck unten
rechts. Der Maß-Bestimmung liegt dabei wie auf den beiden vorangehenden Seiten die symmetrische
Bilinearform für Ebenen-Quadrupel d und e zugrunde. Die
zugehörigen Ebenen D und E sind genau dann orthogonal, wenn f(d ; e) gleich Null ist. Für k = 0 ist die
Maß-Bestimmung euklidisch, für k größer bzw. kleiner Null ist sie elliptisch bzw. hyperbolisch. Geraden
g und h zu Tripel-Paaren (s ; t) und (u ; v) sind orthogonal genau dann wenn die Werte der Bilinearformen
und beide gleich Null sind.

In dem 6-Rechteck
ABCDEF sind die Achsen gegenüberliegender Kanten-Geraden AB und DE , sowie
CD und FA , und auch DE und BC eingezeichnet, die im Analogie-Dreieck den Höhen entsprechen. Diese
drei Raumgeraden haben die violett gezeichnete gemeinsame Achse, die zu dem Schnittpunkt der Höhen im
Analogie-Dreieck gehört. Dem Dreieck der Höhen-Fußpunkte einspricht das mit weißem Mittelstreifen
eingezeichnete 6-Rechteck. Da die Winkel im Höhenfußpunkt-Dreieck von den Höhen halbiert werden,
treffen an jedem grau-schwarz gezeichneten Mitten-Kreuz drei Geraden im gleichen Farbton aufeinander,
die paarweise orthogonal sind. Das Kreuz markiert einen Mittelpunkt auf einer Kanten-Geraden des
6-Rechtecks mit weißem Mittelstreifen. In Fall von k ungleich Null gibt es noch einen zweiten Mittelpunkt
mit gleichen Eigenschaften, der aber nicht eingezeichnet ist.

Im ersten Teil der Animation wird das elliptische 6-Rechteck zu k = 1 um 360° gedreht. In der oben rechts
angezeigten Gleichung ist die anomal-komplexe Zahl j, die am Schluss der vorhergehenden
Seite ' Clifford-Parallelismus' erklärt wird. Im zweiten Teil wird k bis k = 0 verkleinert. (Die Sprünge, die sich
dabei zeigen, erklären sich daraus, dass von zwei zueinander polaren Achsen nur eine ausgewählt ist.) Das
euklidische 6-Rechteck zu k = 0 wird um 360° gedreht. ist dann die Dualzahl mit dem Quadrat Null, die
am Ende der Seite ' euklidische Raumgeraden > Höhen im 6-Rechteck' erläutert wird. Im dritten Teil sinkt k
weiter bis -1. ist dann die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen. Das hyperbolische 6-Rechteck wird
gedreht und anschließend k wieder erhöht.

Die Konstruktion des zum Höhenfußpunkt-Dreieck analogen 6-Rechtecks ist für verschiedene Werte von
k weitgehend gleich. Sie beruht auf der Bestimmung der Achse zweier Raumgeraden in normierter Form.
Sowohl für euklidische, als auch für hyperbolische oder elliptische Raumgeraden kann dafür das Kreuz-
Produkt für Tripel dualer, komplexer bzw. anomal-komplexer Zahlen benutzt werden, welche sich aus den
Tripel-Paaren reeller Zahlen ergeben, die auch als Plücker-Koordinaten bezeichnet werden. Das Kreuz-
Produkt muss normiert werden. Wie auf der Seiten ' euklidische Raumgeraden>Höhen im 6-Rechteck'
und ' hyperbolische Raumgeraden>Orthogonalität' dargestellt wird, kann man zur Normierung für ein
Tripelpaar
m = (m;n) den Term benutzen. Dabei verwenden wir das
Zeichen für das innere Produkt ,
das sich unter Verwendung der Verknüpfung dualer, komplexer bzw. anomal-komplexer Zahlen auch durch berechnen lässt. Dies
Verfahren ist immer dann möglich, wenn einen positiven Norm-Wert hat. Wir definieren dabei die
Norm von durch .
Für k > 0 ist .

Für elliptische Raumgerade eröffnet die LR-Zerlegung, die auf der vorhergehenden Seite ' Clifford-Parallelismus'
beschrieben wird, ein weiteres Verfahren der Achsen-Berechnung zu Geraden g und h. Es kann auch dann
benutzt werden, wenn g zu
s und h zu u Clifford-parallel sind und darum die Norm von gleich
Null ist. Die LR-Zerlegung zum normierten Geraden-Tripel besteht aus dem 'linken' bzw. 'rechten'
Vektor bzw. mit . Der rechte Vektor ist
euklidisch
orthogonal zum linken. Zur Berechnung der Achse, die
elliptisch orthogonal zu g und h ist, bestimmt man ihren
linken Vektor als Einheits-Vektor, der
euklidisch orthogonal zu den linken Vektoren von g und h ist. Analog
verfährt man mit den rechten Vektoren. Die beiden neuen Vektoren gehören allerdings nur dann zu einer Geraden,
wenn sie zueinander euklidisch senkrecht sind. Die auf der vorherigen Seite definierte
inverse Abbildung ILR zu
LR führt nämlich zum im Allgemeinen unnormierten Kreuz-Produkt . Falls g und h Clifford-parallel sind,
stimmen die linken oder die rechten Vektoren von g und h überein. Dann hat man mehrere Möglichkeiten für
die Wahl eines orthogonalen Vektors. Das Normierungs-Problem tritt dann nicht auf.

In den letzten 17 Bildern der Gleitschau sind nach den Standbildern der Animation zu dem 6-Rechteck, das
dem Höhenfußpunkt-Dreieck entspricht, Doppelpfeile mit einem Zahlenpaar eingezeichnet. Jedes Zahlenpaar
beschreibt zu Geraden g und h, auf welche die Pfeilspitzen treffen, den zugehörigen Drehwinkel und die
Verschiebungs-Größe an. Die Verschiebungs-Größe wird nur für k > 0 im Grad-Maß angegeben. Eine
Schraubung zu längs einer Achse j zu g und h bildet g in h oder h in g ab. ist die elliptische Größe
des Winkel zwischen der gj-Ebene und der hj-Ebene. ist der elliptische Abstand der Punkte an den Spitzen
des Doppelpfeils. Bei der zu j polaren Achse treten die gleichen Zahlen auf, allerdings ist dann die Größe
eines Winkels und eine Verschiebungs-Größe.

Zur Berechnung des Maßes zwischen Ebenen D und E für eine beliebige Maß-Konstante k:

Sei und .
Dann berechnen wir so die Größe fmas(d ; e ; k) zum Geraden-Paar (D ; E):

Der erste Fall liegt für k größergleich Null stets vor, für k kleiner als Null nur dann, wenn die Schnittgerade
von D und E die Kugelfläche trifft. In diesem Fall sehen wir fmas(d;e;k) als Größe des
von D und E bestimmten Winkels an, andernfalls bezeichnen wir den Wert als 'Abstand'. Der dritte Fall tritt
nur ein, wenn k kleiner als Null ist und eine der beiden Ebenen das Innere trifft, die andere aber nicht.

Zur Berechnung des Abstands zwischen Punkten P und Q für eine Maß-Konstante k ungleich Null:

Zum Maß zwischen Punkten definieren wir .
(Gelegentlich wird stattdessen definiert. Dadurch
ändert sich die folgende Definition von fpmas aber nicht.)
Sei und .
Dann berechnen wir so die Größe fpmas(p ; q ; k)zum Punkte-Paar (P ; Q):

Auch hier trifft der erste Fall für k größer als Null stets zu, aber für k kleiner als Null nur dann, wenn die
Verbindungs-Gerade von P und Q das Innere der Kugelfläche nicht trifft. Dass hier ein
Abstand in Grad angegeben wird, kann man dadurch begründen, dass der Abstand zwischen Punkten P
und Q auf der Geraden g bei k > 0 mit dem Winkel zwischen den Ebenen übereinstimmt, die mit P bzw. Q
und der zu g polare Geraden inzidieren. Der dritte Fall tritt nur ein, wenn k kleiner als Null ist und einer der
beiden Punkte im Innern liegt und der andere außerhalb der Kugel.

Für k = 0 wird der Abstand von Punkten P und Q mit den Quadupeln und
wie üblich in der euklidischen Geometrie durch definiert.

Um die Maß-Zahlen und zum Geraden-Paar (g;h) zu bestimmen, kann man noch einen anderen
Weg gehen, als den über Maße von Punkten und Ebenen, die mit einer Achse von g und h inzidieren.
Welche der beiden Zahlen in Bezug auf eine bestimmte Achse den Drehungs-Winkel angibt und welche
den Verschiebungs-Winkel, bleibt dabei allerdings unklar. Der Weg führt über die Funktionswerte
von fg und gg. Wenn die Tripelpaare (s;t) und (u;v) von g und h normiert sind, gilt nämlich
. Man braucht dann für die drei Fälle
k > 0, k = 0 und k < 0 eine ArcusCosinus-Funktion. Die LR-Zerlegung führt bei k > 0 zu

Wenn man hier auf der rechten Seite durch ersetzt, gilt diese Formel auch für k < 0.
Im Fall k = 0 definiert man .
Dabei ist die Ableitung von arccos(c).



Zu gemeinsamen Beweisen geometrischer Sätze über 6-Rechtecke
euklidischer, hyperbolischer und elliptischer Raumgeraden


Euklidische, hyperbolische und elliptische Raumgeraden haben gemeinsam, dass man sie durch Tripel
hyperkomplexer Zahlen (duale, komplexe bzw. anomal-komplexe Zahlen) darstellen
kann und dabei metrischen Eigenschaften wie die Orthogonalität durch die symmetrische Bilinearform bestimmt werden. Zwei hyperkomplexe Zahlen
und ergeben das Produkt , wobei die
reelle Zahl für euklidische Raumgeraden Null ist, für hyperbolische negativ ist und für elliptische
positiv. Für die Menge dieser hyperkomplexen Zahlen mit dieser Multiplikation und der Addition
gilt das Assoziativ-Gesetz, das Distributiv-Gesetz und das Kommutativ-
Gesetz, aber nur für k < 0 gibt es zu jede Element in dieser Menge ein
y mit
. Für k = 0 gibt es ein derartiges multiplikatives Inverses nicht, wenn ist.
ist dann Nullteiler, weil es ein Element (z.B. ) ungleich
0 gibt, dessen Produkt mit x
gleich
0 ist. Für k > 0 fehlt ein Inverses in den Fällen und . Auch diese
Ausnahmen sind Nullteiler, denn .

Im Folgenden soll an dem Beispiel des 6-Rechtecks, das dem Höhenfußpunkt-Dreieck der zweidimensionalen
Geometrie entspricht, gezeigt werden, wie man spiegelungsgeometrische Schlussweisen auf Raumgeraden
übertragen kann, die für ebene Dreiecke in folgendem Lehrbuch dargestellt wird:
(*) ' F.Bachmann, Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer 1973'

In Satz 43 der im Kopf dieser Seite angegebenen Pdf-Datei wird gezeigt, dass sich die Spiegelung einer
Raumgeraden g zum Tripel
s an einer Raumgeraden g zum Tripel u durch durch den Term
beschreiben lässt, der auch in der ebenen Geometrie verwandt wird. Für hat die zu g polare Gerade
g' den gleichen Term, da zu g' das Tripel gehört. Der Term ist nur dann definiert, wenn es zu ein
multiplikatives Inverses gibt. Dies Inverse fehlt nur dann, wenn k < 0 ist und g die Kugel mit dem Radius
berührt. Andernfalls lässt sich
u durch Multiplikation mit einer reellen Zahl so normieren, dass
gilt. Im Folgenden gehen wir stets von so normierten Tripeln aus. Die Gerade zu
u nennen wir hier
'Trägergerade von '.

Die Verkettung zweier Spiegelungen ist genau dann eine Spiegelung , wenn ist. Dann gibt
es zu der Determinanten Det({
u;v;w}) ein multiplikatives Inverses und . Wenn die Geraden zu
u, v und w eine gemeinsame normierbare Orthogonale haben, dann ist eine Spiegelung zum Tripel
. Siehe dazu I.9 und I.10 in Text 'Plane elliptic geometry over rings' von
Frieder Knüppel und Edzard Salow ( https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102701007).

Die Matrix der Spiegelung zum normierten Tripel
u ist ,
wobei die Spalte ist, die durch Transponieren der Zeile
u entsteht und die Matrix
mit drei fetten Einsen in der Hauptdiagonalen und sonst nur Nullen. Man errechnet
und .
Falls die Verkettung dreier Spiegelungen mit der Verkettung zweier Spiegelungen
übereinstimmt, dann ist , also .
Wenn mit Tripeln reeller Zahlen r und s, dann sind r und s im Allgemeinen keine
Vektoren mit , weil noch nicht normiert ist. Die Normierung von
zu einem Tripel einer gemeinsamen Achse der Geraden zu
p und q, zu der höchstens die dazu polare
Gerade eine weitere Achse ist, gelingt nur bei positiver Norm von .

Satz: Gegeben seien drei normierte Geraden-Tripel zu a, b und c, für welche die Norm von
positiv ist, und zwei normierte Geraden-Tripel zu
p und q, für die
gilt. Dann ist im Fall k ungleich Null normierbares Tripel zu einem
eindeutig bestimmten Achsen-Paar der Trägergeraden zu
p und q. Diese sind also orthogonal
zu beiden Achsen des Paars. Im Fall k gleich Null gibt es nur eine Achse der Trägergeraden
zu
p und q.

Diesen Satz brauchen wir in der folgenden Argumentation zu einem 6-Rechteck.
Dabei benutzen wir Bezeichnungen aus (*), S.58, auch in der folgenden Zeichnung.


Wir formulieren den Höhensatz in (*), S.56, mit den Bezeichnungen des obigen Analog-Dreiecks in
folgender Weise um. Dabei bezeichnen wir z. B. die Spiegelung mit dem nicht fetten Buchstaben a.
Wir kürzen die Verkettung cpc mit ab. Dies ist die Spiegelung an der Geraden zum Tripel .


Satz : sei die Menge der Spiegelungen an normierbaren Geraden des euklidischen,
hyperbolischen oder elliptischen Raums. Sei .
Für die Tripel
a, b und c zu a, b, c sei die Norm von positiv.
Die Verkettungen U := ua, V := vb und W := wc, sowie p := buc, q := cva
und r := awb seien ebenfalls Elemente in . Dann folgt .
Außerdem gibt es im Fall k ungleich Null ein normiertes
Achsen-Paar g, g', zu dem die Trägergeraden der Spiegelungen
U, , , W, , q, und orthogonal sind.
Für k gleich Null gibt es nur eine Achse mit dieser Eigenschaft.

Beweis: Da jede Spiegelung involutorisch ist, die Verkettung mit sich selbst also die identische
Abbildung ergibt, gilt ua = au , cw = wc, buc = cub und awb = bwa.
Daraus folgt cbu = cbucc = ccubc = ubc und wba = aawba = abwaa = abw.
Man errechnet damit




abc stimmt also mit der Verkettung der Spiegelungen von U und , von und W , von und q
und auch von und überein. Darum gibt es nach dem vorhergehenden Satz im Fall k
ungleich Null ein gemeinsames normiertes Achsen-Paar g, g' orthogonal zu den Trägergeraden,
zu denen U, , , W, ,q, und Spiegelungen sind. Im Fall k gleich Null gibt es nur
eine derartige Achse. Die zugehörige Spiegelung bezeichnen wir mit b'. Wenn man eine Trägergerade
von b' mit a spiegelt, ergibt sich eine Achse zu den Trägergeraden von V, und U, dessen zugehörige
Spiegelung wir mit c' bezeichnen. Da die Trägergeraden von U, q und W eine gemeinsame Achse
haben, folgt .



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