Es lebe die Geometrie!

Das Berührproblem von Apollonios 3

Das Berührproblem von Apollonios von Perge wurde auf den beiden vorhergehenden Seite zu drei
Zylinder-Ellipsen dargestellt, deren Ebenen einen gemeinsamen Punkt C0 im Innern oder außerhalb
des Zylinders haben. Auf dieser Seite soll nun der 3.Fall betrachtet werden, dass nämlich C0 auf der
Zylinder-Fläche liegt. Dieser Fall unterscheidet sich insofern deutlich von den andern beiden, weil es
dann keine Laguerre-Spiegelung mit dem Zentrum C0 gibt, die jede der drei Zylinder-Ellipsen auf sich
abbildet (dabei allerdings zwei Ellipsen-Punkte vertauscht, die kollinear mit C0 sind). Aus diesem
Grund wird in der folgenden Animation zur Variation der Bilder eine Hintereinanderschaltung zweier
Laguerre-Spiegelungen benutzt und nicht nur eine Spiegelung allein wie auf den beiden vorangehenden
Seiten. Diese Hintereinanderschaltung ist die identische Abbildung, wenn beide Spiegelungen gleich
sind. Wenn die Zentren der beiden Spiegelungen sich nähern, gilt dies auch für jede Zylinder-Ellipse
und ihr Bild bei der Hintereinanderschaltung.

Die Animation zeigt in der Mitte Zylinder-Ellipsen D, E und F und durch die Blaschke-Abbildung
bestimmten zugehörigen Zykel ZD, ZE und ZF mit einer gemeinsamen Tangente g, die durch den
Koordinaten-Ursprung geht. Dazu gibt es genau eine gemeinsame Berühr-Ellipse B mit dem dazu
gehörigen Berühr-Zykel ZB. Eine zweite Berühr-Ellipse fehlt, da sich D, E und F in einem Punkt
C0 auf der Zylinder-Fläche treffen, der hier in der xy-Ebene liegt. C0 liegt dann notwendigerweise
auf g, da die zur Ursprungsgerade durch C0 nullpolare Gerade dann mit g übereinstimmt und auf
dieser Nullpolaren die Ähnlichkeitspunkte der Zykel ZD, ZE und ZF liegen. Wir nenen g darum
'Ähnlichkeits-Achse'. C0 ist der dreifarbig umrandete Punkt.

Zur Variation von D, E und F wurde die Hintereinanderschaltung der Laguerre-Spiegelungen
an dem hellgrünen Punkt N und dem magentafarbenen Punkt A benutzt. N bleibt fest am Ort (0;5;0), und
A bewegt sich auf dem Kreis um den Ursprung in der xy-Ebene mit dem Radius 5. Wenn N und A gleich
sind, ist die identische Abbildung. Dann befindet sich C0 am Ort (0;-1;0;1). Dieser Punkt bleibt während
der Animation durch blasse Umrandungen fest markiert. Er wird durch die Laguerre-Spiegelung an N in den
orangefarbenen Punkt (0;1;0;1) abgebildet, der stets mit C0 und A kollinear ist.

C0 bewegt sich auf dem schwarzen Einheitskreis und g dreht sich um den Ursprung. Die Berührpunkte von
ZD, ZE und ZF ändern dabei den Abstand vom Ursprung nicht. Denn lässt den schwarzen Einheitskreis
fest und dieser wird bei der Nullpolarität in den zum Ursprung gehörigen Nullkreis abgebildet. Darum bleibt
für jeden der Zykel ZD, ZE und ZF der Tangential-Abstand zu diesem Nullkreis unverändert.

Dagegen ändert sich der Radius der Zykel, und sie wechseln auch die Seite von g. Die Orientierung passt
aber stets zu einer Orientierung von g, die bei der Drehung gleich bleibt. Auf dem Berühr-Zykel ZB ist
der g nächst gelegene Punkt P grau markiert. Er ist das Potenz-Zentrum (=Radikal-Zentrum) der Kreise
zu ZD, ZE und ZF , also der Schnittpunkt der Potenzgeraden zu den Paaren ZD , ZE und ZE , ZF und
ZF, ZD. Wenn der Punkt P nicht im Innern eines dieser Zykel liegt, ist er Mittelpunkt des schwarzen Kreises,
der orthogonal zu ZD, ZE und ZF ist. Die (euklidische) Spiegelung an diesem Kreis bildet g auf ZB ab.

P liegt stets auf der Verbindunggeraden der Berührpunkte von ZD , ZE oder ZF mit g und ZB.
Der Mittelpunkt von ZB liegt auf der Geraden durch P, die (euklidisch) orthogonal zu g ist, und
auf der Normalen zu ZD , ZE oder ZF im Berührpunkt mit ZB . Daraus ergibt sich eine
Konstruktion von ZB mit Zirkel und Lineal.