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5-Spitz-Zykloide

Geometrie 1 > Zykloiden

Hypozykloide mit fünf Spitzen
(hier auch -5-Zykloide genannt)
Die rot gezeichnete Hypozykloide mit fünf Spitzen entsteht durch Abrollen von Gangkreisen mit den
Radien 1/5 oder 4/5 an dem dick schwarz gezeichnete Rastkreis hat den Radius 1. Die zugehörigen roten
Pfeile haben Winkelgeschwindigkeiten im Verhältnis 1 zu -4. Wenn bzw. der Richtungswinkel des
langen bzw. kurzen roten Pfeils ist, dann ist . Der Richtungswinkel des Geschwindigkeitsvektors
vom Spurpunkt der Zykloide erfüllt dann die Gleichung , da dieser Vektor sich als
Resultierende zweier gleich langer Vektoren ergibt, die senkrecht zu den roten Pfeilen gerichtet sind.

Neben der rot gezeichneten -5-Zykloide zu den Gangkreisradien 1/5 und 4/5 tritt hier eine zweite
Zykloide mit fünf Spitzen auf, die ebenfalls durch Abrollen eines Gangkreises im Innern des Rastkreises
entsteht und hier blau oder grün gezeichnet ist. Die Gangkreisradien sind hierbei 2/5 oder 3/5. Wir
nennen sie {-5;+5}-Zykloide, weil sie einen analogen Zusammenhang mit der Epizykloide mit fünf
Spitzen hat, die durch Abrollen eines Gangkreises an der Außenseite des Rastkreises entsteht und hier
+5-Zykloide genannt wird. Die entsprechende {-3;+3}-Zykloide stimmt mit der Steiner-Zykloide überein.



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-5-Zykloide und {-5;+5}-Zykloide
Die -5-Zykloide entsteht durch Abrollen eines
Gangkreises mit dem Radius 1/5 oder 4/5. Der
zum kleineren Gangkreis gehörige doppelt so
große Gangkreis mit dem gleichen Rastkreis-
Berührpunkt hat einen Tangenten-Durchmesser,
dessen Endpunkte die blaue {-5;+5}-Zykloide
als Spur zeichnen. Der Gangkreis vom Radius
4/5 hat dazu einen Tangenten-Durchmesser.

Evolvente der {-5;+5}-Zykloide
Der dunkelgüne Pfeilzug mit Pfeilen der Längen
2/5 und 3/5 erzeugt die {-5;+5}-Zykloide, der
hellgrüne mit den Längen 2/25 und 3/25 die
Evolvente dazu. Der an den markierten Punkt
der Evolvente angesetzte weißgefüllte Pfeil mit
der Länge 24/25 hat seine Spitze auf dem
Gleichdick, das zu der {-5;+5]-Zykloide gehört
und die Evolvente durch eine Spitze dieser
Zykloide ist.

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Die {-5;+5}-Zykloide zwischen -5-Zykloide und +5-Zykloide
In dieser Animation wird neben der -5-Zykloide auch die +5-Zykloide gezeichnet, die dadurch entsteht,
dass neben einem Gangkreis mit dem Radius 1/5 im Innern des Rastkreises ein weiterer mit gleicher
Größe außen abrollt. Anders als bei der Steiner-Zykloide ist die Verbindungsgerade der die Spur
zeichnenden roten Punkte P und Q keine Tangente der -5-Zykloide, wohl aber Tangente der
{-5;+5}-Zykloide. Wie bei der Steiner-Zykloide ist diese Gerade aber orthogonal zu der Verbindungs-
geraden der Rastkreis-Berührpunkte der größeren Gangkreise mit den Radien 4/5 und 6/5. Der Punkt R,
der die Strecke PQ im Verhältnis 3 : 2 = (5+1) : (5-1) teilt, liegt auf dem zugehörigen Gleichdick. Die
Gerade PQ berührt die {-5;+5}-Zykloide im Punkt S, der die Strecke PQ außen im Verhältnis -3 : 2 teilt.
S ist also der vierte harmonische Punkt zu P, Q; R.



Gleichdick mit Quadraten
Die Breite des zur{-5;+5}-Zykloide gehörigen
Gleichdicks beträgt 48/25. Die Mittelpunkte der
umschließenden Quadrate liegen auf einem Kreis
um den Urspung mit dem Radius 1/25.

Minkowski-Addition vom Gleichdick
mit seinem Spiegelbild
Die Minkowki-Addition ergibt wie bei
jedem Gleichdick einen Kreis. Zur Darstellung
wurde die Mitte eines grünen Punktspiegelbilds des
roten Gleichdicks auf dessen Rand verschoben.


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