Es lebe die Geometrie!

Archimedische Körper, die aus der Tetraeder-Kachelung
durch Seiten-Spiegelungen abgeleitet werden können

Ein archimedischer Körper ist ein konvexes Polyeder mit nur regelmäßigen n-Ecken als Seitenflächen und
mit einer Umkugel, so dass folgende Eigenschaft gilt: Zu je zwei Eckpunkten P und Q gibt es eine Drehung
um eine Achse durch das Zentrum der Umkugel, die P in Q abbildet und das Polyeder auf sich. Dabei ist ein
konvexes Polyeder die Schnittmenge von endlich vielen Halbräumen mit gemeinsamen inneren Punkten. Ein
Halbraum ist die Menge der Punkte auf einer Seite einer Ebene im dreidimensionalen Raum.

Aus dieser Definition folgt, dass alle Eckpunkte auf der Umkugel liegen und alle Kanten gleich lang sind.

Die Körper sind nach Archimedes (-285 bis -212) benannt, da er sie als Erster beschrieben hat.

Beispiele:

Das Prisma mit einem regulären n-Eck als Grundfläche und Deckfläche und einem Mantel aus Quadraten.

Das Antiprisma mit einem regulären n-Eck als Grundfläche und Deckfläche und einem Mantel aus 2n
gleichseitigen Dreiecken. Das Antiprisma entsteht, wenn man an die Seiten der beiden n-Ecke gleichseitige
Dreiecke ansetzt, diese abklappt und die beiden Teile um gegeneinander verdreht zusammenfügt.
Das Tetraeder und das Oktaeder kann man als Antiprisma mit n = 2 bzw. n = 3 ansehen. Das Ikosaeder
entsteht aus einem Antiprisma zu n = 5, wenn man auf die beiden Deckflächen Pyramiden mit gleichseitigen
Dreiecken als Mantel aufsetzt. Siehe dazu die Seite ' Archimedes 0'.

Die fünf platonischen Körper Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder.
Dies sind die einzigen archimedischen Körper, bei denen alle Seitenflächen kongruent sind.

Außer diesen Beispielen gibt es 13 weitere Typen. Bei diesen kommen zwei oder drei Arten von
regulären n-Ecken mit vor. Sie lassen sich alle aus der Tetraeder-Kachelung, der
Würfel-Kachelung oder der Ikosaeder-Kachelung ableiten. Bei 11 der 13 Typen erzeugen die
Spiegelungen an den Ebenen der zugehörigen Seiten-Großkreise die Symmetrie-Gruppe der Körper,
bilden die Körper also längentreu auf sich ab. Wir nennen diese Symmetrie-Gruppe
'Tetraeder-Gruppe' (mit 24 Abbildungen, davon 6 Ebenen-Spiegelungen und 12 Drehungen),
'Würfel-Gruppe' (mit 48 Abbildungen, davon 9 Ebenen-Spiegelungen und 24 Drehungen) bzw.
'Ikosaeder-Gruppe' (mit 120 Abbildungen, davon 15 Ebenen-Spiegelungen und 60 Drehungen).
Diese Gruppen werden schon von den drei Spiegelungen an den Seiten einer Kachel der zugehörigen
Kachelung im Kugel-Modell erzeugt.

. Die 11 Typen sind:

Tetraeder-Kachelung: Kuboktaeder, Tetraederstumpf, Oktaederstumpf
Würfel-Kachelung: Kuboktaeder, Rhombenkuboktaeder,
Würfelstumpf, Oktaederstumpf, Kuboktaederstumpf,
Ikosaeder-Kachelung: Ikosidodekaeder, Rhombenikosidodekaeder,
Ikosaederstumpf, Dodekaederstumpf, Ikosidodekaederstumpf.

Die Mehrfachnennung von Kuboktaeder und Oktaederstumpf hat den Grund darin, dass die
Kacheln der Würfel-Kachelung durch Halbierung aus denen der Tetraeder-Kachelung entstehen.
Aus diesen Grund enthält die Würfel-Gruppe eine zur Tetraeder-Gruppe isomorphe Untergruppe.

Neben den genannten 11 Typen gibt es zwei weitere, die sich aus der Würfel- bzw. der Ikosaeder-
Kachelung ableiten lassen, nämlich der abgeplattete Würfel (Cubus simus) und das abgeplattete
Dodekaeder.(Dodecaedron simus). Das leinische Wort 'simus' bedeutet 'plattnasig'. Bei den beiden
Typen gehören die Nachbar-Spiegelungen nicht zur Symmetrie-Gruppe, wohl aber die Hintereinander=
schaltungen von je zwei dieser Spiegelungen. Dies sind Drehungen um eine Achse durch das Zentrum
der Umkugel. Zur Erzeugung der Symmetrie-Gruppe reichen drei Drehungen um Achsen durch die
Eckpunkte einer Kachel der zugehörigen Kachelung im Kugel-Modell, wobei der Drehwinkel doppelt
so groß ist wie der Innenwinkel bei dem Eckpunkt.

Auf dieser Seite soll zunächst der Zusammenhang mit der Tetraeder-Kachelung gezeigt werden.

In der Animation stellen die dünn gezeichneten roten, grünen und blauen Großkreise die
Seiten-Kreise der Tetraeder-Kachelung dar. Unten rechts ist ein Ausschnitt des zugehörigen
Poincare-Modells angegeben und links unten daraus vergrößert das Ausgangs-Dreieck, aus
dem die Kachelung durch Kreis-Spiegelungen an den Seiten entsteht. Auf den Seiten der
Kachelung bewegen sich gelbe Punkte, die alle durch diese Spiegelungen aus dem gelben
Punkt in der Ausgangs-Kachel hervorgehen. Sie bewegen sich darum alle mit der gleichen
Geschwindigkeit auf der Kugel. Jeder gelbe Punkt ist mit den gelben Punkten verbunden, die
spiegelbildlich zu den Seiten der Dreiecks-Kachel liegen, in der sie sich befinden. Die
Verbindung ist bei den Kugel-Punkten geradlinig und kreisbogenförmig im Poincare-Modell.
Diese Linien sind in der Farbe der Dreiecks-Seiten gezeichnet, die sie rechtwinklig kreuzen,
und zwar mit einem dickeren Strich. Die Kachelung, die sich im Poincare-Modell ergibt,
nennen wir 'abgeleitete Kachelung'. Die zugehörige Kachelung im Kugel-Modell erhält man,
indem man die dick gezeichneten Strecken zwischen den gelben Punkten durch darüber
liegende Großkreis-Bögen mit den gleichen Endpunkten ersetzt. Jeder dieser Bögen liegt
also in der Ebene durch den Umkugel-Mittelpunkt O und der zugehörigen Kante. Die Bögen
sind in der Animation nicht eingezeichnet, um die Darstellung nicht zu überladen.

Der gelbe Punkt im Ausgangs-Dreieck ABC unten links bewegt sich meist auf dem Rand
des Dreiecks, nämlich von A über B nach C, dann aber nicht weiter bis A zurück, sondern
nur bis zum Schnittpunkt B' der Winkelhalbierenden durch B mit der blauen Seite AC. Der
Weg führt dann weiter bis zum Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden auf der
Winkelhalbierenden durch B. Der Rundweg geht über die Winkelhalbierende durch A zum
Ausgangspunkt zurück. Den Schnittpunkt C' der Winkelhalbierenden durch C mit der roten
Seite AB nummerieren wir mit '1', B mit '2', den Schnittpunkt A' der Winkelhalbierenden
durch A mit '3', C mit '4', B' mit '5', M mit '6' und A mit '7'. Die ausgezeichnete Rolle dieser
Positionen rührt daher, dass die Verbindungen der gelben Punkte genau dann alle gleich lang
sind, wenn sich der gelbe Punkt des Ausgangs-Dreiecks an diesen Stellen befindet. Der
Körper mit den gelben Kugelpunkten als Eckpunkte ist dann archimedisch. In den andern
Positionen ist zumindest ein Teil der Seitenflächen der konvexen Hülle der gelben Punkte
regulär. Bei den nicht regelmäßigen Seitenflächen gibt es nur zwei verschiedene Seitenlängen,
die bei einem Umlauf um den Rand abwechselnd aufeinander folgen.

Wir nennen die gelben Punkte 'A-Eckpunkte' ('A' für 'archimedisch') und die Kachelungs-
Eckpunkte 'K-Eckpunkte' (sowohl im Kugel-Modell, als auch im Poncare- oder Klein-Modell):

Die Polyeder haben in allen Positionen die gleiche Symmetrie-Gruppe aus euklidischen
Kongruenz-Abbildungen wie die Tetraeder-Kachelung im Kugel-Modell.

Die Tetraeder-Kachelung ändert sich bei der Bewegung der gelben A-Eckpunkte nicht. Da
diese sich stets mit gleicher Geschwindigkeit bewegen, liegen die dick gezeichneten K-Eckpunkte
der Tetraeder-Kachelung stets über den Mitten der Polyeder-Flächen oder im Fall des blauen
Eckpunktes über der Mitte einer blauen Kante. Man kann die blauen Kanten als Zweiecke
ansehen. Bei der Bewegung der gelben Punkte werden die Seitenflächen parallel verschoben.


In den an die Animation anschließenden Bildern der Gleitschau werden für die sieben Positionen
jeweils sieben Bilder zur Erklärung des Zusammenhangs zwischen Kachelung und archimedischen
Körper gezeigt. Bild 1 gibt das Bild der Animation in Position 1 mit einer Ergänzung durch
Pyramiden über den roten Flächen wieder, die den Begriff 'Stumpf' verdeutlichen sollen. Bild 2
zeigt das Gleiche aus einem anderen Blickwinkel und Bild 3 den vergößerten Tetraederstumpf.
Die dem Betrachter nicht zugewandten Kanten wurden grau verhüllt angegeben; bei den
Großkreisen bezieht sich die Verhüllung auf die Punkte der Kugel-Rückseite. Bild 4 zeigt neben
dem Tetrederstumpf in dicken Strich die Großkreis-Bögen der Tetraeder-Kachelung und der
abgeleiteten Kachelung in jeweils gleicher Farbe rot, grün oder blau, wenn sie sich rechtwinklig
treffen. Die Bögen der abgeleiteten Kachelung folgen dabei den Kanten des Polyeders. Die
violetten Bögen gehören zu den Winkelhalbierenden durch die grünen Punkte über den Zentren
der grünen Flächen. Bild 5 zeigt das Poincare-Modell, in dem die Seiten der Tetraeder-Kachelung
dünn und die der abgeleiteten Kachelung dick angegeben sind, und Bild 6 das Gleiche mit den
Inkreisen der Dreiecks-Kacheln. Die schwarzen Punkte in den Inkreisen geben den Mittelpunkt in
der nicht-euklidischen Maßbestimmung an, bei welcher der Bogen-Abstand zweier Punkte durch die
Länge des Großkreis-Bogens zwischen entsprechenden Punkten auf der Kugel gegeben ist. Der
Kreis um das Zentrum N des schwarzen Äquators, der durch den Inkreis-Mittelpunkt M verläuft,
ist orthogonal zum Inkreis. Dies gilt auch für die Gerade NM.

Bild 7 zeigt das Klein-Modell einer Teil-Kachelung der oberen Hälfte der Kugel. Wenn man
zusätzlich auch die Bilder der unteren Hälfte einzeichnen würde, käme es zu Teil-Überlappungen
der abgeleiteten Kachelung.

Auf die ersten sieben (nummerierten) Bilden folgen unnummeriert die Bilder für die nächsten Körper
in entsprechender Abfolge.

Die Gleitschau verdeutlicht folgende Zusammenhänge zwischen der Tetraeder-Kachelung im
Kugel-Modell und einem archimedischen Körper AK im Fall einer ausgezeichneten Position der
gelben A-Eckpunkte:

Die gelben A-Eckpunkte sind die Eckpunkte von AK.

Die K-Eckpunkte der Tetraeder-Kachelung sind also Eckpunkte von AK, wenn in den Positionen
2, 4 und 7 die gelben A-Eckpunkte auf den K-Eckpunkten der Tetraeder-Kachelung liegen. Anderfalls
liegen die K-Eckpunkten der Tetraeder-Kachelung über der Mitte einer Seitenfläche von AK oder im
Fall eines blauen K-Eckpunkts über der Mitte einer Kante von AK, die wir dann als Zwei-Eck ansehen.
In jedem Fall gehen die Geraden durch den Kugelmittelpunkt und die K-Eckpunkte durch diese Mitten
der Seitenflächen bzw.Kanten von AK.

Die Großkreis-Bögen, die A-Eckpunkte von AK verbinden, kreuzen Bögen der Tetraeder-Kachelung
in gleicher Farbe senkrecht. Diese Bögen haben auf Grund der Lage der gelben A-Eckpunkte auf
Winkelhalbierenden in den ausgezeichneten Positionen alle die gleiche Länge, so dass auch die Kanten
von AK alle die gleiche Länge haben.