Es lebe die Geometrie!


Direkt zum Seiteninhalt

Hauptmenü


Koppelgetriebe

Geometrie 1 > Sehnen konstanter Länge

Koppelgetriebe

Bei einem Koppelgetriebe bewegen sich zwei Punkte A und B auf zwei Führungskreise so dass ihr
Abstand konstant bleibt. Die Strecke
AB ist also eine Sehne konstanter Länge für das Kreispaar. In
der Getriebelehre wird die Sehne als 'Koppel' bezeichnet und die Verbindungsstrecken zwischen den
Zentren
M1 und M2 der Kreise mit A und B als 'Arme'.


WeiterPlayZurück

Die Animation simuliert Koppelgetriebe bei denen die Punkte A und B ihre Führungskreise ganz
durchlaufen, also darauf nicht nur hin- und her-schwingen. Es sind also Doppelkurbelgetriebe.
Die Drehpunkte
M1 und M2 der beiden Arme haben den Abstand 0,6 und die Koppel AB hat
die Länge 1. In der ersten Periode sind beide Kreis-Radien gleich 1, in der zweiten 1 und 1,32.
Die dunkelblaue Kurve ist die Enveloppe der Sehnengeraden, die hellblaue ist die Polkurve und
die grüne die Momentanpolkurve. Ihr Zusammenhang ergibt sich durch die Geschwindigkeitspfeile.
Dabei sind die weiß gefüllten Pfeile gleich lang, da die Sehnenlänge sich nicht ändert.


WeiterPlayZurück

Die beiden Bilder der Gleitschau sollen die Zusammenhänge zwischen Geschwindigkeiten,
Längen und Winkeln bei einem Koppelgetriebe erläutern.
M1 und M2 sind die Zentren der
beiden Führungskreise für die Sehne
AB mit konstanter Länge, die hier die Koppel darstellt.

Bild 1 : Für den schwarzen Schnittpunkt Z der Geraden M1M2 und AB gilt: Das Verhältnis der
Winkelgeschwindigkeiten und der Punkte
A und B auf ihren Kreisbahnen stimmt stets mit
dem Verhältnis der Streckenlängen und überein.

Begründung: Die Radien der beiden Führungskreise seien und genannt und die Größen der
rot markierten Winkel bei
M1 und M2 mit und . Die dunkel- bzw. hell-rot markierten Winkel
bei
A bzw. B haben die gleiche Größe. Für die Geschwindigkeiten und der Punkte A und B
gilt darum , denn die weiß gefüllten Geschwindigkeits-Vektoren sind gleich
lang. Für die Längen bzw. der Lote von
M2 bzw. M1 auf die Gerade AB gilt darum
, Nach dem Strahlensatz folgt daraus .

Bild 2 : An den Momentanpol D ist ein dunkel- bzw. hell-roter Geschwindigkeitsvektor bzw.
angeheftet, der angibt, wie schnell der Punkt
D wäre, wenn er sich mit der Geraden AM1 bzw.
BM2 so bewegen würde, dass dabei der Abstand von M1 bzw. M2 unverändert bleibt. Die Spitzen
der beiden dunkel-roten bzw. hell-roten Pfeile liegen also auf einer Geraden durch
M1 bzw. M2.
Die tatsächliche Bewegung wird aber durch den grünen Vektor der 'Polwechselgeschwindigkeit'
beschrieben, der tangential zur grünen Momentanpol-Kurve verläuft. Dabei gilt:

1. Die Spitzen , und der Vektoren , und liegen auf dem Thales-Kreis über .
Dieser Kreis wird auch als 'Hartmann-Kreis' bezeichnet.
2. Die Geraden und
DZ sind orthogonal.
3. Die schwarz markierten Winkel und sind gleich groß.

Begründung zu 1 : Wenn man in eine Komponente senkrecht zur Geraden
M1D und eine
Komponente zerlegt, dann bewirkt nur ein Veränderung der Richtung dieser Geraden. Die
Winkelgeschwindigkeit von
A ist auch die Winkelgeschwindigkeit der Geraden M1D . Damit gilt
, da sich die Gerade um
M1 dreht. Also ist . Alternativ kann man
folgendermaßen argumentieren: Wenn der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in den

Punkt
M1 gelegt wird und den Ortsvektor von A in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt, dann
gibt es eine reellwertige Funktion f(t), so dass den Ortsvektor von
D angibt. Also ist
und , wobei der Strich die Ableitung
nach der Zeit angibt. Daraus folgt , da der Ortsvektor
von A orthogonal zu seinem Geschwindigkeitsvektor ist. Darum liegt auf dem Thales-Kreis über
. Entsprechend schließt man für die hell-roten Geschwindigkeits-Vektoren.

Begründung zu 2 :

Es sei die Größe des Winkels
M1DZ, die des Winkels M2DZ. und die des Winkels DZM1.
Dann ist nach dem Sinus-Satz ,
also .

Begründung zu 3 :

L sei der Fußpunkt des Lots von auf die Gerade
DZ. Nach dem Peripheriewinkel-Satz stimmen die
Größen der Winkel und überein, folglich auch die von . und .


WeiterPlayZurück

Die Animation simuliert ein Zwilligskurbelgetriebe. Die zwei Führungskurven der Sehne sind Kreise mit
dem Radius 1, deren Mittelpunkte
M1 und M2 die Sehnenlänge als Abstand haben. Diese Mittelpunkte
bilden mit den Endpunkte
A und B der Sehne ein Antiparallelogramm, da sich zwei gegenüberliegende
Seiten kreuzen.

In der ersten Periode der Animation ist die Sehnenlänge 0,6, also kleiner als der Kreis-Radius 1.
Das Getriebe wird dann 'gleichläufig' genannt, da
A und B gleichsinnig rotieren. In dem Fall ist
der Momentanpol
D der Schnittpunkt der Arme und liegt folglich auf der Symmetrieachse des
Anti-Parallelogramms. Die Summe der Abstände des Momentanpols
D von M1 und M2 ist
darum gleich der Armlänge. Da diese konstant ist, bewegt sich
D auf einer Ellipse mit den Kreis-
Zentren als Brennpunkte. Die Symmetrieachse des Antiparallelogramms ist die Tangente in
D.
Die dunkelblaue Enveloppe ähnelt einer Nephroide, hat aber nicht wie diese einen Spitzen-
Abstand, der halb so groß ist wie der Abstand der Scheitelpunkte. Die violette Kurve ist die Spur
der Sehnen-Mitte. Sie ist eine 'boothsche Lemniskate'. Derartige Spuren heißen 'Koppelkurven'.

In der zweiten Periode der Animation beträgt die Sehnenlänge s = , ist also größer als der Kreis-
Radius. Das Getriebe heißt dann 'gegenläufig', weil sich
A und B entgegengesetzt auf ihren Kreisen
bewegen. Der Momentanpol
D liegt auf der Verlängerung der Arme und auf der Symmentrieachse
des Antiparallelogramms. Da
D außerhalb der Arme liegt, ist hier nicht die Summe der Abstände
von
M1 und M2 konstant, sondern die Differenz. Diese stimmt hier mit dem Radius der beiden
Führungskurven überein. Darum ist die Momentanpol-Kurve eine Hyperbel, und zwar wegen der
Sehnenlänge eine gleichseitige Hyperbel, die
M1 und M2 als Brennpunkte hat. Die Spur der
Sehnen-Mitte ist eine Lemniskate im üblichen Sinne mit
M1 und M2 als Lemniskate-Brennpunkten.

Das ergibt sich folgendermaßen :
A sei der Punkt . Dann ist B Schnittpunkt der
Kreise und . Für die in der Animation
dargestellten Fälle ergibt sich als Lösung des Systems
dieser Gleichungen. Die Mitte L der Sehne
AB ist dann
.
Das Produkt der Abstände dieses Punktes von
M1 und M2 ist für konstant, nämlich gleich
dem Quadrat des halben Abstands der Mittelpunkte, also gleich 0,5. Für beliebiges s ergibt sich durch
Spiegelung an dem Kreis mit dem Radius um die Mitte Z von
M1M2 aus L der Punkt
. Er liegt für s > 1 auf der
Hyperbel mit dem Mittelpunkt in Z und den Halbachsen 0,5 und . Für ist dies die
grüne Kurve der Momentanpole. Für s < 1 ist das Kreisspigelungs-Bild der boothschen Lemniskate
eine Ellipse mit den Halbachsen 0,5 und .

Die Bilder 1 bis 3 und 6 bis 11 der Gleitschau zeigen Standbilder der Animation mit Variationen, dabei
Bild 3 und 11 zusammen mit dem schwarzen Kreis, an dem gespiegelt wird, und dem dunkelgrünen Bild
der violetten Koppelkurve. Die Bilder 4 und 5 gehören zu den Sehnenlängen 0,93 und 0,03. Bild 5 soll
verdeutlichen, dass die blaue Enveloppe im Grenzfall der Sehnenlänge gegen Null zu einer Nephroide wird.
Die Bilder 12 und 13 gehören zu den Sehnenlängen 2,3 und 1,076.



WeiterPlayZurück

Die Animation zeigt eine gleichschenklige Schwingkurbel. Dabei hat ein Arm die Länge s der Koppel
und der andere ist so lang wie der Abstand a der beiden Mitten
M1 und M2 der kreisförmigen
Führungskurven.
M1, M2 und die Endpunkte B und A der Kurbel bilden also ein Drachen-Viereck.
Das Verhältnis von a zu s ist in der Animation und in den Bildern 1 bis 4 gleich 2, bei Bild 5 gleich 1,15.
Bild 1 ist ein Standbild der Animation. Die Bilder 2 bis 4 erweitern die geometrischen
Zusammenhänge. Sie werden unten erklärt.

Die zweite Periode der Animation zeigt mit Hilfe von Pfeilen, dass sich die grüne Momentalpol-Kurve als
Überlagerung zweier gleichförmiger Kreisbewegungen darstellen lässt, wobei der kleinere Pfeil doppelt
so schnell rotiert wie der größere. Die dadurch entstehende 'pascalsche Schnecke' ist die Spur eines
Punktes auf einem 'Gang-Kreis' mit dem Radius r, der ohne zu Rutschen an einem gleich großen
'Rast-Kreis' abrollt. (Ein Punkt auf dem Rand des Gang-Kreise würde eine Kardioide als Spur haben.)

Die Begründung hierfür ergibt sich aus dem Bild 2, das in der Gleitschau auf die Animation folgt. Der
gelbe Mittelpunkt
G des langen Pfeils ist der Schnittpunkt der Symmetrie-Achse g des Drachens mit
der Geraden, die mit dem Arm
AM1 einen gleich großen (rot markierten) Winkel einschließt wie die
Gerade
M1M2 mit g. Der graue Drehpunkt H des langen Pfeils ist der Schnittpunkt von M1M2 mit
der Parallelen zu
AM1 durch G. Dann sind die Dreiecke M1M2A, HM2G und HGM1 zueinander
ähnlich. Mit dem Abstand b von
H und M1 errechnet man daraus
, folglich und .
Da s und a bei der Bewegung der Koppel konstant sind, gilt dies auch für r, so dass der gelbe Punkt
G tatsächlich auf einem Kreis umläuft.

Wenn die Größe des rot markierten Winkels
GM2M1 bei M2 mit bezeichnet wird und die des
schwarz markierten Winkels
M2M1G bei M1 mit , dann erweist sich die Größe der grün markierten
Winkel bei
G und beim grünen Momentanpol D als gleich, nämlich als . Darum liegt der
Momentanpol
D auf dem Kreis um G durch M1 und B. Wenn also der lange Pfeil die Länge 2r hat, der
kurze die Länge b und beide den Winkel einschließen, dann liegt der Momentanpol an der Spitze
des kleinen Pfeils. Damit ist gezeigt, dass die grüne Momentanpol-Kurve eine pascalsche Schnecke ist.
In komplexer Form wird sie durch die Funktion beschrieben.

Der Rastkreis geht durch die beiden Schnittpunkte der roten Führungskreise. Er ist darum der eindeutig
bestimmte Kreis im Kreisbüschel, das von den beiden Führungskreisen erzeugt wird, der sich durch
eine nicht-triviale Streckung mit dem Zentrum
M2 aus dem Führungskreis um M1 ergibt.

Der hellgrüne Kreis um
G durch M1 und A berührt die Momentanpol-Kurve in D.

In Bild 3 der Gleitschau wurden die beiden Pfeile in Bild 2 durch zwei weitere zu einem Parallelogramm
ergänzt. Dadurch wird klar, dass die pascalsche Schnecke eine Konchoide ist mit einem Kreis vom Radius
r als Leitkurve und
A als Konchoiden-Pol, der auf dem Kreis liegt. Die Strecke AD schneidet den Kreis
im Anfangspunkt R des hinzugekommenden langen Pfeils. Dass es sich bei der Momentanpol-Kurve um
eine Konchoide handelt, folgt daraus, dass die Länge der Strecke R
D für alle Punkte der Kurve gleich ist.

In Bild 4 kommt der Kreis k hinzu, der die Scheitelpunkte der pascalschen Schnecke auf der Rechtsache
als Endpunkte eines Durchmessers hat. Die Fußpunkte der Lote von
A auf die Tangenten von k liegen alle
auf der pascalschen Schnecke und die Fußpunkte der Lote auf die Normalen von k auf dem Konchoiden-
Leitkreis. Der Radius von k stimmt mit der Länge des langen Pfeils überein. Bild 5 zeigt, wie man an der
pascalschen Schnecke erkennt, wie lang der kurze Pfeil ist, dessen Länge mit dem Radius des Leitkreises
übereinstimmt.

Die Umformung für den
Term der Momentanpol-Kurve zeigt, dass das Bild dieser pascalschen Schnecke bei Spiegelung an dem
Kreis
k um M1 mit dem Radius 2b ein Kegelschnitt ist, denn aus dem Punkt
ergibt sich bei der Spiegelung der Punkt , der auf dem
Kegelschnitt mit dem Halbprameter und der numerischen Exzentrizität liegt. Die Brennpunkte
des Kegelschnitts sind dabei der Punkt
M1 und Bild von M2 bei Spiegelung an k.

In Bild 6 wurde zu der hellgrünen Momentanpol-Kurve deren Bild bei der Spiegelung an dem braunen
Kreis
k gezeichnet. Es ist die dunkelgrüne Ellipse. Die schwarz markierten Winkel bei A sind darum
gleich groß. Sie stimmen mit der Größe der schwarz markierten Winkel beim Momentanpol überein, weil
Winkelgrößen bei Kreisspiegelungen unverändert bleiben. Aus diesem Grund sind auch die grün markierten
Winkel bei
A und beim Momentanpol D gleich groß.

Bild 7 macht den Übergang zu dem Grenzfall deutlich, in dem die pascalsche Schnecke eine Kardioide ist.


WeiterPlayZurück

In dieser Animation und in den Bildern 1 bis 5 ist bei dem Drachen-Koppelgetriebe das Verhältnis von
a zu s gleich 0,5 und in Bild 6 und 7 gleich 0,48. Der Abstand
M1M2 ist also nun kleiner als die Koppel.
Statt einer Schwingkurbel ergibt sich eine Doppelkurbel. Die grüne Momentanpol-Kurve ist ebenfalls eine
pascalsche Schnecke, hier jedoch mit einer Schleife, deren Doppelpunkt
M1 ist. Der Rast-Kreis berührt in
der Animation und in den Bildern 1 bis 5 die beiden Führungskreise in ihrem einzigen gemeinsamen Punkt.
Er ist auch hier der eindeutig bestimmte Kreis in dem von den Führungskreisen erzeugten Kreisbüschel,
der durch eine nicht-triviale Streckung mit dem Zentrum
M2 aus dem Kreis um M1 entsteht. Dies gilt
auch für Bild 6 und 7. Hier ist das Kreisbüschel elliptisch, hat also keinen gemeinsamen Punkt, enthält aber
einen Nullkreis vom Radius Null. Der zugehörige Punkt ist in Bild 6 und 7 der weiß gefüllte Punkt auf der
Geraden
M1M2.

In Bild 7 ist das Bild der Momentanpol-Kurve bei der Spiegelung an dem braunen Kreis
k eingezeichnet,
dessen Radius doppelt so groß ist wie der des Rollkreises. Es ist eine Hyperbel mit den Brennpunkten
M1
und dem Bild von
M2 bei Spiegelung an k. Darum sind auch hier die vier schwarz markierten Winkel gleich
groß, ebenso wie die beiden grün markierten.


Home | Geometrie 1 | Geometrie 2 | Epizykeltheorie | Sitemap


Zurück zum Seiteninhalt | Zurück zum Hauptmenü