Es lebe die Geometrie!

Bandwerke zu Kachelungen mit der Signatur -1-243

Die Nachbarbewegungen sind bei dieser Vierecks-Kachelung Spiegelungen an den Seiten Nummer 1 und 2,
die Drehung um D, welche die Seite 4 in Seite 3 abbildet und die Umkehrabbildung davon. Damit ein Bandwerk
mit Hilfe eines Billard-Pfads erzeugt werden kann, muss die Menge der Treffpunkte des Pfads auf Seite 4 durch
die Drehung um D in die Menge der Treffpunkte auf Seite 3 abgebildet werden. Wünschenswert ist auch, dass
die jeweiligen Auftreffwinkel übereinstimmen. Dann liegt in einem Anfangs- oder Endpunkt des Pfads die
zugehörige Seite des Ausgangs-Vierecks auf der Winkelhalbierenden der Band-Strecken, die hier eine Ecke
bilden, und in anderen Treffpunkten finden die Band-Strecken eine geradlinige Fortsetzung.

Zwei gegenüberliegende Innenwinkel jedes Vierecks der Kachelung haben die Größe 60° und 120°, oder
sie sind beides rechte Winkel. Jedes Viereck ist also Sehnen-Viereck eines Kreises. Die Seiten 3 und 4,
die sich im Dreh-Eckpunkt treffen, sind gleich lang, da sie durch eine Drehung auseinander hervorgehen.
Sie schließen eine Winkel von 90° oder 120° ein.

Die Gleitschau zeigt eine Folge von Bandwerken zu einem Billard-Pfad im Ausgangs-Viereck ABCD mit
rechten Winkeln bei B und beim Dreh-Eckpunkt D. Die Lote vom Umkreis-Mittelpunkt M auf die Seiten
3 und 4 und die Strecke MD sind Strecken mit inneren Spiegelungen. Teilweise wird auch eine Spiegelungs-
Strecke auf der Winkelhalbierenden durch B benutzt.

Im ersten Bild startet der Billard-Pfad im grünen Punkt auf der Seite 1 und endet auf Seite 2 in B. Der
Startwinkel gegenüber Seite 1 beträgt 72° und der Startpunkt P0 liegt bei 0,241, also ungefähr bei einem
Viertel der Strecke AB. In Bild 2 wurde dieser Pfad zurückverfolgt und nach Reflexion beim Startpunkt
bis Seite 4 verlängert. Dieser Pfad führt noch zu keinem Bandwerk, da er an seinem Endpunkt in der
Kachelung keine Fortsetzung findet. Erst nach vier weiteren Reflexionen an Seiten des Vierecks ergeben
sich endlose Bänder. Das Bandwerk wird anschließend bei unveränderten Start-Bedingungen durch
Veränderung der Innenwinkel verformt und dann bis zu einer doppelten Schleife verkürzt. Die Doppel-
Schleife wird bis zum Rand der Ausgangskachel vergrößert und springt dann nach Verlägerung des Pfads
in einen 4-Stern um D über. Bei weiterer Vergößerung verschlingen sich die Schleifen und lösen sich
schließlich in Bänder auf, die ins Unendliche reichen. Durch die Einführung einer weiteren Spiegelungs-
Strecke auf der Winkelhalbierenden durch B wird das Bandwerk erst sprunghaft bei unveränderten
Anfangs-Bedingungen umgebaut und dann durch Verrückung des Anfangspunktes variiert.

Das erste Bandwerk der Gleitschau ist eine Verschlingung von eckigen Doppelschleifen. Sie werden durch
die Veränderung der Innenwinkel variiert, wobei der Startpunkt unverrückt bleibt und die erste Strecke
des Billard-Pfads parallel zur Winkelhalbierenden durch D gehalten wird. Als sich dabei kein Bandwerk
mehr ergab, wurde eine neue Spiegelungs-Strecke auf der Winkelhalbierenden durch B eingeführt. Auch
dann ergab sich erst nach Verkürzung des Pfads und der Spiegelungs-Strecke wieder ein Bandwerk. Dies
wurde durch Verschiebung des Startpunktes und Veränderung der Länge der Spiegelungs-Strecke weiter
umgeformt. Die letzten Bilder zeigen die Wirkung des Lots von M auf die Seite BC als vierte Spiegelungs-
Strecke.

Diesen Bandwerken liegt eine Kachelung zur Signatur -1-243 zum Ausgangs-Viereck mit Winkeln von
60° bei B, 111° bei C, 120° bei D und 69° bei A zugrunde. Zwei Spiegelungs-Strecken liegen auf den
Winkelhalbierenden durch B und D. Der Startpunkt wurde nicht verändert, der Startwinkel nur an einer
Stelle. Variationen ergaben sich durch die unterschiedliche Länge des Billard-Pfads, wobei nur zur Teil
Bandwerke entstanden.