Es lebe die Geometrie!

Das Arnoldsche Problem am Beispiel der 90°-Kurven

-->Pdf-Datei https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Arnold.pdf

Am 10.11.2010 stellte Bernhard Arnold folgendes Problem:

Welche abgeschlossenen konvexen Mengen im Innern des Einheits-Kreises haben die Eigenschaft,
dass sie von jedem Punkt des Einheits-Kreises unter demselben Sehwinkel erscheinen?

Dazu soll zunächst ein Verfahren angegeben werden, mit dem die Randkurve einer derartiger Menge M
konstruiert werden kann. In den folgenden Animationen werden auf dieser Seite diese Kurven für den
Sehwinkel 90° gezeigt.

n sei eine ganze Zahl größer als 1. Wir gehen von einer Funktion mit der Periode aus, die zu
jedem Punkt des Einheits-Kreises einen positiven Wert bestimmt, den wir als
Geschwindigkeit deuten. Wenn ein auf dem Einheit-Kreis bewegter Punkt P sich am Ort befindet, soll
er diese Geschwindigkeit haben. Die Zeit, die P dann für den Weg auf dem Kreis von nach mit
benötigt, wird dann durch berechnet. Für ist also diese Zeit gleich .

Da die Periode hat, gilt für alle und alle ganzen Zahlen m zwischen 1 und
n-1. Wir nennen m Überschlagungs-Zahl. Dann ist für alle . Ein Punkt
P am Ort bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie ein Punkt P' am Ort . Der
Seh-Winkel zwischen den Sehnen PQ und QP' ist darum für alle gleich groß. Auf dem Kreis-Bogen
zwischen und gibt es einen Ort , bis zu dem P vom Ort halb so lange braucht
wie zum Ort , also die Zeit . Ein Punkt Q an diesem Ort braucht dann die gleiche
Zeit, um bis zum Ort von P' zu gelangen. Die Sehne PQ hat dann möglicherweise eine andere
Länge als die Sehne QP'. Für alle ist die Gerade PQ Tangente an eine Hüllkurve H. Wenn diese konvex ist,
schließt sie die gesuchten Menge M ein.

Diese Animation zeigt das Verfahren am Beispiel der Funktion . Dann ist n = 2 und m = 1.
Die Sehnen PQ und P'Q schließen einen Seh-Winkel von 90° ein und die Hüll-Kurve H ist eine Ellipse. Die Sehne
PP' ist für alle ein Durchmesser des Einheits-Kreises. Setzt man vier Sehnen nach dem Muster PQ aneinander,
so ergibt sich ein Rechteck. Die rot gefüllten Geschwindigkeits-Vektoren an P und Q sind in die gelb gefüllten
Komponenten in Richtung PQ und senkrecht dazu zerlegt worden. Der Berühr-Punkt von PQ mit H ist der Schnitt-
Punkt von PQ mit der Verbindungs-Geraden der Spitzen der senkrechten Komponenten bei P und Q.

Am oberen Rand ist die Geschwindigkeits-Funktion und die Zeit-Funktion t grafisch dargestellt, wobei der rote
bzw. grüne Punkt zu dem roten bzw. grünen Punkt auf dem Einheits-Kreis gehört. Die Höhe des grauen Balkens
im Grafen von t ist bis auf Pixel-Sprünge konstant, da sie dem konstanten Zeit-Intervall für den Weg zwischen den
Orten der beiden Punkte entspricht.

Im zweiten Teil der Animation wurden die Berühr-Punkte von H zu einem Parallelogramm verbunden. Im Innern von
H ist es eine geschlossene Billard-Bahn, da die Winkel der beiden Seiten des Parallelogramms bei einem Treff-
Punkt mit H gleich groß sind. Die Seiten-Geraden des Parallelogramms sind Tangenten an eine Hüll-Kurve J, die
ebenfalls eine Ellipse ist. Ihre Berühr-Punkte sind die Fußpunkte der Lote von den Eck-Punkten des Rechtecks auf
die Parallelogramm-Seiten.

Die Zeit-Funktion t zu der Geschwindigkeits-Funktion ist
.
Für die allgemeinere Geschwindigkeits-Funktion mit c > 1 ist die Zeit-Funktion
.

Diese Animation entspricht der vorangehenden mit dem Unterschied, dass hier c nicht gleich 2 ist, sondern gleich 1,1.

Diese Animation zeigt, dass die 90°-Kurven nicht nur Ellipsen oder Kreise sein müssen.
Hier ist n = 6, m = 3 und c = 6. Die Hüll-Kurve J des Billard-Polygons stimmt hier nicht
mit der magentafarbenen Kurve der Lotfuß-Punkte überein.

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