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Minkowski-Addition

Für beliebige Vektormengen A und B kann die Summe A + B durch definiert
werden. Wenn A und B zu konvexen Punktmengen gehören, wird diese Addition als Minkowski-Addition
bezeichnet, benannt nach Hermann Minkowski (1864-1909). Dabei heißt eine Punktmenge A konvex,
wenn sie für beliebige Punkten P und Q in A auch jeden Punkt der Verbindungsstrecke PQ enthält.

A sei eine ebene beschränkte abgeschlossene konvexe Punktmenge. Dies ist also eine zweidimensionale
Punktmenge, die sich nicht ins Unendliche erstreckt und bei der alle ihre Randpunkte zu A gehören. Dann
gibt es zu jedem Richtungswinkel genau eine orientierte Gerade , die mindestens einen Punkt von
A enthält, in deren rechter Halbebene aber kein Punkt von A liegt. Diese Gerade wird 'Stützgerade zu '
genannt. Wenn die Randkurve von A in einem Punkt P differenzierbar ist, dann ist die Tangente in P die
einzige Stützgerade durch P. Dabei wird die Tangente so orientiert, dass A links davon liegt. Wenn P
Eckpunkt von A ist, gibt es mehrere Stützgeraden durch P.

Man stelle sich vor, dass ein Lineal von unten an die Menge A angelegt wird, so dass es bei der Maßzahl '0'
einen Berührpunkt hat und parallel zur Rechtsachse verläuft. Wenn das Lineal dann links herum ohne zu
Rutschen an A abrollt, dann repräsentiert es in jeder Stellung eine Stützgerade zu einem Richtungswinkel .
Möglicherweise berührt das Lineal die Punktmenge A in mehreren Punkten. Die größte Maß-Zahl des Lineal,
die auf einen Berührpunkt trifft, sei genannt. Dann definiert eine monoton
wachsende 1-geschlossene Drehpunktfunktion, deren Drehpunktkurve Randkurve von A ist. Umgekehrt gilt:
Wenn f eine monoton wachsende Drehpunktfunktion mit einer 1-geschlossenen Drehpunktkurve ist, dann ist
diese Kurve Randkurve einer ebenen beschränkten konvexen Punktmenge.

Die Addition der Drehpunktfunktionen passt zur Minkowski-Addition. Das bedeutet: Wenn A, B und C
ebene beschränkte abgeschlossene konvexe Punktmengen sind mit A+B = C und f, g und h die zugehörigen
Drehpunktfunktionen, dann gilt f + g = h. Die folgende Animation zeigt diesen Zusammenhang.

In der Animation werden die beiden Spitzen-Evolventen einer Astroide zu einem Kreis addiert.
Die Evolventen sind Randkurven von beschränkten konvexen Punktmengen. Die zugehörigen
Drehpunktfunktionen sind und . In der
ersten Periode der Animation wird die Vektor-Addition für Kurvenpunkt mit gleichen
Richtungswinkel dargestellt. Die zweite Periode macht deutlich, dass die Kreisscheibe schon
dadurch ausgefüllt wird, dass man die Vektorsummen zu den Punkten der Evolventen ohne
deren Inneres bildet.

Hier soll gezeigt werden, dass die Addition von Drehpunktkurven und die Addition von
Vektormengen nicht mehr zusammenpassen, wenn ein Summand nicht zu einer konvexen
Menge gehört, wie hier bei der grünen Astroide. Die Drehpunktfunktionen der Summanden sind
und . Die erste Periode stellt die Vektoraddition zu
Kurvenpunkten mit gleichem Richtungswinkel dar. Die zweite Periode zeigt, dass die hellblaue
Punktmenge, die sich bei Vektoraddition zu Kurvenpunkten mit beliebigen Richtungswinkeln
ergibt, nicht Teilmenge der dunkelblau berandeten Kreisscheibe ist.