Es lebe die Geometrie!

Der Satz von Holditch bei Vielecken

Auf dieser Seite wird eine Sehne AB mit konstanter Länge von den Seitengeraden eines rot gezeichneten
Vielecks geführt und die von der grünen Spur des Mittelpunktes C von AB eingeschlossene Fläche farbig
markiert. Es wird also hier nicht wie auf der vorhergehenden Seite die Fläche zwischen der grünen und der
roten Kurve gefärbt. Der signierte Inhalt der auf dieser Seite markierten Fläche stimmt stets mit der Differenz
aus dem Vieleck-Flächeninhalt und dem m-fachen des Inhalts der Fläche des Kreise mit AB als Durchmesser
überein. m ist nur beim Pentagramm verschieden von 1, nämlich dort gleich 2.

Die Farbe eines Punktes P in der von der grünen Kurve eingeschlossenen Fläche gibt die Umlaufzahl der Kurve
bezüglich dieses Punktes an. Zur Bestimmung dieser Umlaufzahl m (auch 'Index' genannt) stellt man sich einen
Pfeil von P nach C vor und untersucht, wieviele volle 360°-Umdrehungen dieser Pfeil macht, wenn die Sehne
AB eine Periode ihres Wegs durchläuft. Punkte mit der Umlaufzahl Null bleiben weiß und die mit positiven bzw.
negativen Umlaufzahlen werden grün bzw. magentafarbig markiert. Dabei gehören zu größeren Beträgen
dunklere Farben. Der signierte Flächeninhalt ergibt sich, indem man die Inhalte (im gewöhnlichen Sinn)
gleichfarbiger Flächenteile mit der Umlaufzahl multipliziert und die Produkte addiert.

In den fünf Perioden dieser Animation ist die Sehnenlänge s nacheinander 1 ; 1,16 ; 1,23 ; 1,5 und 1,73
bei einem gleichseitigen Dreieck mit dem Umkreisradius 1. Bei s =1 kommt nur die Umlaufzahl 1 vor, bei
s = 1,16 zusätzlich -1, bei s = 1,23 und s = 1,5 zusätzlich -2 und bei s = 1,73 nur -1 und -2. s =1,5 ist die
Länge der Dreieckshöhe und s = 1,73 die Seitenlänge. Damit bei s = 1,73 eine Bewegung der Sehne
möglich ist, müssen die Punkte A und B auf den Seitengeraden über die Eckpunkte hinaus geführt werden.
Dadurch ändert sich jedoch die durch die Spur von A und B eingeschlossene Fläche nicht, da diese Punkte
den Weg bis zum Eckpunkt auf der Seitengeraden zurücklegen und darum durch diesen Schlenker keine
zusätzliche Fläche eingeschlossen wird.

Hier werden die Flächen der vorhergehenden Animation für Sehnenlängen zwischen 1 und 2,5 dargestellt.

Die Sehnen-Enden A und B bewegen sich hier auf den Seiten des Pentagramms mit dem
Umkreis-Radius 1. Bezüglich dieses Wegs haben die Punkte in Innern des mittleren Fünfecks
mit Innenwinkeln von 108° die Umlaufzahl 2, während die übrigen Punkte im Innern des
Pentagramms die Umlaufzahl 1 haben. Darum ist der signierte Flächeninhalt des Pentagramms
durch die Summe aus der doppelten Fünfeckfläche und der fünffachen Fläche eines anhängenden
Dreiecks gegeben. Der Weg des Sehnen-Mittelpunktes C unterscheidet sich vom Weg der
Punkte A und B durch die Ellipsen-Bögen an den Spitzen. Durch die Überlappung dieser Bögen
treten zum Teil zusätzliche Umlaufzahlen bezüglich dieses Weg auf. Diese sind an Hand der Farb-
Markierung erkennbar. In den fünf Perioden der Animation ist die Sehnen-Länge nacheinander
0,37 ; 0,61 ; 0,89 ; 1 und 1,3. Bei den ersten beiden Perioden kommen nur die Umlaufzahlen
1 und 2 vor, bei den übrigen auch die Umlaufzahlen -1 ; -2 und -3. Der signierte Flächeninhalt,
der sich daraus ergibt, ist die Differenz des signierten Inhalts des Pentagramms und des doppelten
Inhalts der Kreisfläche mit AB als Durchmesser, da die ganze Zahl m in dem Satz von Holditch
(nach Arne Broman) hier gleich 2 ist.

In den drei Perioden zu diesem unregelmäßigen Sechseck haben die Sehnen die
Längen 0,67 ; 1,5 und 1,72.