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Steiner-Zykloide 4

Geometrie 1 > Zykloiden

Steiner-Zykloide und Drehpunktfunktion

Die Steiner-Zykloide kann mit Hilfe von komplexen Zahlen als Graph der Funktion
beschrieben werden. In kartesischen Koordinaten werden die Punkte der Zykloide also durch Paare
mit Winkelgrößen
zwischen 0° und 360°
beschrieben. Eine alternative Möglichkeit zur Untersuchung bietet die Drehpunktfunktion. Dabei stellt man
sich eine Zahlengerade g vor, die in der Ebene bewegt wird. h sei die Parallelen zu einer festen Rechtsachse
in der Ebene durch den Punkt mit der Koordinate Null des eindimensionalen Koordinatensystems auf g. Die
Größe des Winkels zwischen h und der Strecke von diesem Nullpunkt zum Punkt auf mit der '1' sei mit
bezeichnet und 'Richtungswinkel von g' genannt. Die Bewegung von g kommt ausschließlich durch eine
Drehung gegen den Uhrzeigersinn um einen von abhängigen Drehpunkt auf g zustande. Die Lage
des Drehpunkts wird durch eine Funktion festgelegt, wobei die Zahl ist, die in dem
eindimensionalen Koordinatensystem von g an der Stelle von steht. Im Koordinatensystem der Ebene
wird dann die Drehpunktkurve durch die Funktion dargestellt, falls dieses Stieltje-Integral
existiert, oder für ein stetig differenzierbares f durch das Riemann-Integral . (Siehe die Pdf-Datei

http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Drehpunktfunktion.pdf. ) Dabei wird davon ausgegangen, dass g für
mit der Rechtsachse des Koordinatensystems der Ebene zusammenfällt. Die Evolvente der
Drehpunktkurve durch den Punkt (s ; 0) wird durch beschrieben.

Bei der Steiner-Zykloide benutzen wir die Drehpunktfunktion . Für
wachsendes durchläuft dann eine Steiner-Zykloide im Uhrzeigersinn. Der Rastkreis dieser
Zykloide hat den Radius 9/8.

In den folgenden Animationen werden diese Zusammenhänge dargestellt. Außerdem wird die Umfangslänge
von Tangenten-Vielecken verschiedener Evolventen untersucht.

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In dieser Animation werden für die roten Evolventen der blauen Steiner-Zykloide zu s gleich 1,
0,6 und 0,2 die Tangenten-Vierecke dargestellt, bei denen aufeinanderfolgende Tangenten einen
rechten Winkel bilden. Die jeweils aktuelle Lage des Tangenten-Vierecks wird durch den langen
Pfeil bestimmt, der die Steiner-Zykloide in dem gelben Punkt berührt. Dieser Pfeil liegt auf g mit
der Spitze bei '1', dem Ende bei '-1' und der Mitte bei '0'. Die grüne oder rote Markierung gibt den
Funktionswert von f an, der gleichartig auch im Graph darüber angezeigt wird. Der blaue Tangenten-
Pfeil steht senkrecht auf diesem g-Pfeil, so dass seine Spitze relativ dazu nach links gerichtet ist.
Die unten angezeigten Seitenlängen beziehen sich auf die Längen dieser Tangenten-Pfeile. Die Werte
sind konstant 2s. Bei der Evolvente zu s = 0,2 ist bemerkenswert, dass die Berührpunkte außerhalb
der Tangentenpfeile liegen.


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Für das Steiner-Gleichdick, also die Spitzen-Evolvente der Steiner-Zykloide werden die Tangenten-
n-Ecke für n gleich 5, 6, 7 und 8 gezeigt. Ihre Umfangslänge ist konstant .


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Diese Animation zeigt die Tangenten-Pfeilecke der Bogenmitten-Evolvente zur Steiner-Zykloide
für die Eckenzahlen n gleich 3, 5 und 7. Es ist hierbei sinnvoll, von
Pfeil-Ecken zu sprechen, weil
für die Seiten eine Orientierung festgelegt werden muss, um zur Umfangslänge allgemeingültige
Aussagen machen zu können. Man stelle sich einen Umlauf um das Tangenten-Pfeileck vor, der
beim blauen Pfeil in dessen Richtung startet. Wenn bei diesem Umlaug eine Seite gegen die Richtung
ihres Pfeiles durchlaufen wird, muss die zugehörige Seitenlängen mit einem Minus-Zeichen versehen
werden. Bei den Eckenzahlen 5 und 7 ergibt sich dann bemerkenswerter Weise bei der Evolvente
der Steiner-Zykloide zu s = 0 stets die Umfangslänge Null. Dabei ist zu bedenken, dass beim
Übergang zu s = 0 vorher getrennte Teile der Evolvente zusammenfallen, so dass bei einem Umlauf
des g-Pfeils die Bogenspitzen-Evolvente zweimal durchlaufen wird. Das hat zur Folge, dass für
geradzahliges n je zwei Eckpunkte zusammenfallen und alle Seiten des Pfeil-Ecks mit zwei
entgegengesetzten Pfeilen belegt sind. In dem Fall ist also die Umfangslänge trivialerweise gleich
Null.

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