Es lebe die Geometrie!

Kardioide und Drehpunktfunktion

Die Kardioide zum Rastkreisradius 1 kann in der komplexen Ebene durch die Funktion
beschrieben werden, so dass die Punkte in kartesischen Koordinaten
durch gegeben sind. Die Drehpunktfunktion
erzeugt als Drehpunktkurve eine Kardioide mit dem
Rastkreisradius 1/8. Wenn der Richtungswinkel die Werte von 0° bis durchläuft,
wird die Kardioide zweimal umrundet.

Zur Drehpunktfunktion siehe http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Drehpunktfunktion.pdf.


In den folgenden Animationen werden Tangenten-Pfeilecke von Evolventen der Kardioide
dargestellt, bei denen die Winkel zwischen aufeinanderfolgenden Tangenten gleich groß sind
und ihre Umfangslänge betrachtet.

Die rote Kurve zeigt die Evolvente der blauen Kardioide für s gleich 1, 0,6 und 0,2. s ist dabei
der Parameter eines eindimensionalen Koordinatensystems auf der Geraden g durch den blauen
Pfeil mit dem gelben Punkt. Die Spitze dieses g-Pfeils liegt bei s = 1 und sein Ende bei -1. g ist
die Tangente der Kardioide, durch deren Drehbewegung die Kardioide erzeugt werden kann,
wenn der Drehpunkt für jeden Richtungswinkel von g an der Stelle liegt.

Die gezeigten Tangenten-Vierecke haben für jedes s die konstanten Seitenlängen 2s.

Hier werden die Tangenten-n-Ecke zur Spitzen-Evolvente der Kardioide für n = 9 und n = 12 gezeigt.
Die Umfangslänge ist konstant .

Die rote Kurve ist die Bogenmitten-Evolvente der Kardioide, also die Evolvente zu s = 0. Sie ist
selbst eine Kardioide und wird in einer Periode der Drehpunktfunktion zweimal durchlaufen. Die
gezeigten Tangenten-Pfeilecke haben die Eckenzahlen n = 5 und n = 9. Ihre Umfangslänge ist stets
Null. Dabei ist zu berücksichtigen, dass bei den Pfeilecken die Seitenlängen zur Summation zum Teil
mit einem Minus-Zeichen versehen werden müssen, nämlich dann, wenn bei einem Umlauf um das
Pfeileck eine Bewegung gegen die Pfeirichtung vorkommt.