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Schraubungen

Geometrie 1 > elliptische Raumgeraden

Schraubungen im elliptischen projektiv-metrischen Raum

-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum I'
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_I.pdf

Im dreidimensionalen projektiven Raum beschreiben wir Punkte und Ebenen durch Quadrupel reeller Zahlen,
für Punkte mit runden Klammern und für Ebenen mit eckigen. Wenn man ein Quadrupel
mit einer Zahl r ungleich Null multipliziert, beschreibt das Ergebnis-Quadrupel
denselben Punkt. Entsprechendes gilt für Ebenen-Quadrupel. Wenn ein Punkt im dreidimensionalen
affinen Raum durch das Koordinalen-Tripel gegeben ist, gehört dazu das Koordinaten-
Quadrupel . Ein Punkte zu gehört genau dann zu der Ebene mit dem
Quadrupel , wenn ist.
Die Ebene mit dem Quadrupel [0 ; 0 ; 0 ; 1] nennen wir 'unendlich ferne Ebene'. Die Punkte, die nicht
mit dieser Ebene inzidieren, bilden den affinen Raum.

Der projektive Raum wird zu einem metrischen Raum durch Angabe einer symmetrischen Bilinearform für die
Ebenen-Quadrupel. Als 'elliptisch' bezeichnen wir hier den Raum, wenn die Bilinearform mit einer konstanten
reellen Zahl k > 0 durch gegeben ist. Im Fall k = 0 nennen wir
den Raum 'euklidisch' und im Fall k < 0 'hyperbolisch' (siehe auch die Seiten 'euklidische Raumgeraden' >
' Höhen im 6-Rechteck' und 'hyperbolische Raumgeraden' > ' Orthogonalität').Wir nennen die zu d und e
gehörigen Ebenen D und E 'elliptisch orthogonal', wenn f(d;e) = 0 gilt. Der Punkt P mit dem Quadrupel
hat die Eigenschaft, dass alle Ebenen durch P elliptisch orthogonal zu E sind. Wir nennen
P 'elliptischen Pol' von E. Eine Ebenen-Quadrupel nennen wir e-normiert, wenn
f(e ; e) = 1 gilt.

Eine Gerade g im projektiven Raum beschreiben wir durch ein Paar (u ; v) zweier Tripel aus reellen Zahlen.
Wenn g nicht ganz in der unendlich fernen Ebenen liegt, also affine Punkte enthält, gibt u einen Richtungs-
Vektor von g an. v ist dann das Tripel aus den ersten drei Zahlen eines Quadrupels der Ebene durch g und
dem Koordinaten-Ursprung (0 ; 0 ; 0 ; 1), also einem Normalen-Vektor dieser Ebene. Die euklidische Länge
des Vektors v ist bei dieser Definition zunächst unbestimmt, weil das Quadrupel nach Multiplikation mit
einer reellen Zahl r ungleich Null die gleiche Ebene beschreibt. Man legt so fest, dass

das Tripel des Fußpunktes des Lots vom Ursprung auf g ist. Wenn u einen Kraft-Vektor angibt, dann gehört v
zu einem Drehmoment. (u ; v) wird auch als Tripel-Paar in Plücker-Koordinaten bezeichnet. Wenn u und v nicht
beide das Null-Tripel sind, beschreibt (u ; v) genau dann eine Gerade, wenn
ist. Die Gerade zum Tripel-Paar nennen wir 'polar' zur Geraden g zu (u ; v) , weil der Pol jeder
Ebene durch g auf liegt.

Zur Beschreibung der Inzidenz von Geraden mit Punkten und Ebenen hat sich die Matrix
bewährt. Der Punkt liegt nämlich genau dann
auf der Geraden g zu (u ; v), wenn x.G(u ; v) das Quadrupel
0 mit vier Nullen ist. Dabei benutzen wir
den tiefgestellten Punkt für die Matrizen-Multiplikation und sehen x als Matrix mit einer Zeile an. Die
Ebene inzidiert mit g genau dann, wenn e.G(v ; u) =
0 ist. Dann verläuft also g ganz
in E.

Geraden h und g zu den Tripelpaaren (s ; t) und (u ; v) haben genau dann einen Punkt gemeinsam, wenn die
Bilinearform den Wert Null hat. Für jedes Geraden-Tripelpaar (u ; v) gilt
. Für metrische Untersuchungen benutzen wir außerdem die Bilinearform
. g und h sind nämlich genau dann elliptisch orthogonal, wenn nicht nur
gg((s ; t) ; (u ; v)) = 0 ist, sondern auch fg((s ; t) ; (u ; v)) = 0. Wegen k > 0 ist auch fg((u ; v) ; (u ; v)) für
jedes Geraden-Tripelpaar eine positive Zahl. Indem man eventuell alle Komponenten von (u ; v) durch die
Wurzel aus dieser Zahl teilt, erhält man ein Tripelpaar (u' ; v'), das die gleiche Gerade beschreibt und für das
fg((u' ; v') ; (u' ; v')) = 1 gilt. Wir nennen (u' ; v') eine 'e-normiertes' Tripelpaar.

Zur Beschreibung der metrischen Beziehungen variieren wir die Matrix G(u ; v) zu GS(u ; v), indem wir die
Zahlen in der vierten Spalte mit k multiplizieren. Die Matrix nennen wir zu GS(u ; v)
'polar'. Es gilt , wobei die Matrix
mit lauter Einsen in der Hauptdiagonalen ist und sonst nur Nullen. Außerdem ist
.

Eine elliptische Schraubung zur Achse g ist eine Bewegungen des elliptischen Raumes, welche
die Menge der Punkte von g und von festlässt. Sowohl die Inzidenz als auch die elliptische
Orthogonalität bleibt erhalten. Sei P ein Punkt mit dem Quadrupel und .
Wenn g durch ein
e-normiertes Tripelpaar gegeben ist, gibt es zwei Zahlen und , so dass
p.M das Quadrupel des Bildpunktes von P ist. M bezeichnen wir auch durch .
Ihre Determinante von M ist 1. gibt die Größe des Winkel einer Drehung um g an und die
einer Drehung um die zu g polare Gerade an. Wenn kein ganzzahliges Vielfaches von
ist, wohl aber , dann bleibt jeder Punkt auf g fest und jeder Punkt auf wird verschoben. Diese
Aussage bleibt wahr, wenn man die Winkel und die beiden Geraden vertauscht.

Schraubungen mit der gleichen Achse bilden eine abelsche Gruppe, und es gilt
.

Sei P ein Punkt, der nicht auf g oder liegt. Dann ist
die Punktmenge eines einschaligen Hyperboloids. Dies soll im Folgenden illustriert werden.


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In dieser Animation und auch den folgenden auf dieser Seite ist k gleich 1.

Jedes einschalige Hyperboloid trägt zwei Scharen von Geraden; die beiden werden auch 'Regulusse' oder
'Reguli' genannt. Durch jeden Punkt des Hyperboloids geht genau eine Gerade aus jedem der beiden
Regulusse. Zwei Geraden des gleichen Regulus schneiden sich nie, aber immer, wenn sie zu verschiedenen
Regulussen gehören. Die Geraden eines der beiden Regulusse nennen wir 'links-parallel', die des anderen
'rechts-parallel'.

Die Animation zeigt den Aufbau eines Netzes von Regulus-Geraden mit Hilfe von Schraubungen. Die roten
Geraden sind links-parallel, die blauen rechts-parallel. An sechzehn Punkte des magentafarbenen Kreises
K
wird je eine rote und blaue Regulus-Gerade angeheftet.
K entsteht durch Drehung des roten Punktes A(0;1;0)
um die x-Achse g.
K ist also der Graf der Funktion .

Die beiden Regulus-Geraden, die an einen Punkt Q auf
K angeheftet werden, ergeben sich folgendermaßen:
h sei die Gerade, welche den Koordinaten-Ursprung N(0;0;0) mit Q verbindet. Die rote bzw. blaue Regulus-
Gerade in Q ergibt sich durch eine Abbildung, die wir Links- bzw. Rechts-Translation längs h nennen. Zur
Unterscheidung von der euklidischen Translation wird sie nach William Clifford (1845-1879) auch 'Clifford-
Translation' genannt. Sie wird hier mit Hilfe einer realisiert, bei der bzw.
gesetzt wird. Dabei durchläüft die Werte von 0° bis 45°. Die rote bzw. blaue Regulus-Gerade durch Q
ist also das Bild von g bei der Abbildung bzw. . Der
Übergang von g zu diesen beiden Geraden wird in der Animation dadurch demonstriert, dass zwei Rechtecke,
die zunächst in der Ebene E von g und h liegen, um h gedreht werden, und zwar mit jeweils gleichem
Drehwinkel in entgegengesetzte Richtungen. Für sind die Rechtecke ausgeartet, da zwei der
gegenüberliegenden Seiten die Länge Null haben. Der in der Zeichnung angezeigte Drehwinkel stimmt mit
der Größe des Winkels zwischen E und jeder der beiden Rechteck-Ebenen Dl und Dr überein. Dieser
Winkel kann auf Grund der speziellen Lage von g als Gerade durch N euklidisch gemessen werden, also
mit Hilfe des Arccos-Wertes vom inneren Produkt aus den Tripeln der Normalen-Vektoren von E und Dl
bzw. Dr mit der Länge 1 . Bei einer anderen Lage von g muss der Winkel elliptisch gemessen werden, indem
man das innere Produkt durch f(d ; e) ersetzt; e und d sind dabei e-normierte Quadrupel zu E und Dl bzw. Dr .

Für schneidende Geraden g und h kann man die Bestimmung der Größe des eingeschlossenen Winkels auf
die Winkel-Messung zwischen Ebenen zurückführen, indem man die Ebenen betrachtet, die neben g bzw.
h auch die Gerade j enthält, die durch den Schnittpunkt von g und h geht und zu g und h elliptisch orthogonal
ist. Die so berechnete Winkel-Größe stimmt für e-normierte Geraden g und h zu den Tripel-Paaren (s ; t) und
(u ; v) mit dem Arccos-Wert von fg((s ; t) ; (u ; v)) überein.

Die Zahl an schwarzen Doppel-Pfeil zeigt den elliptischen Abstand der Pfeil-Endpunkte an. Sein Betrag stimmt
mit dem des Winkels zwischen E und Dl bzw. Dr überein. Der elliptische Abstand zwischen Punkten wird mit
ihren Quadrupeln berechnet analog dem Verfahren bei der Winkel-Bestimmung. Statt der Bilinearform f benutzt
man aber die Bilinearform , die nur für k = 1 mit f übereinstimmt.
Der elliptische Abstand zwischen Punkten A und B ist also arccos(fp(a ; b)), vorausgesetzt die Quadrupel a
und b sind e-normiert, das heißt fp(a ; a) = 1 = fp(b ; b).

Die fünf letzten Bilder der Gleitschau zeigen nach den Standbildern der Animation das farbig gefüllte Netz der
Regulus-Geraden. Dadurch wird deutlicher, dass diese Geraden ein einschaliges Hyperboloid erzeugen. In dem
Netz sind vier Kreuzungs-Punkte
A, B , C und D ausgezeichnet. Im drittletzten Bild ist für einige der Regulus-
Geraden angezeigt, in welchem Verhältnis sie die Strecken
AB, BC, CD oder DA teilen, und zwar bei einer
euklidischen und einer elliptischen Messung von Strecken. Wenn zum Beispiel S der Schnittpunkt einer Geraden
j mit der Geraden
AB ist, dann teilt S die Strecke AB im Verhältnis . Im Fall, dass S nicht zwischen A und
B liegt, wird dieser Quotient mit -1 multipliziert. Die mit Betragsstrichen angegebenen Werte bedeuten hier
euklidische oder elliptische Abstände. Im Fall der elliptischen Messung wird auf das Minus-Zeichen verzichtet.
Es zeigt sich, dass bei jeder blauen Regulus-Gerade das Produkt der Teilverhältnisse, mit dem die Strecken

AB und CD geteilt werden, eine Konstante tvk ist. Bei elliptischer Messung ist sie 1, bei euklidischer 1,1716.
Entsprechend ist auch bei jeder roten Regulus-Gerade das Produkt der Teilverhältnisse, mit dem die Strecken
BC und DA geteilt werden, eine Konstante, nämlich der Kehrwert von tvk. Siehe dazu auch die Seite
Regelflächen > ' Hyperboloid 2'.

Die euklidische Teilverhältnis-Konstante tvk = 1,1716 ermöglicht die Angabe einer
Gleichung, die genau für die Punkt-Quadrupel des Hyperboloids erfüllt ist, nämlich
.
Dabei bezeichnen die Größen mit dem Dach Quadrupel von
A, B , C , D und einem
beliebigen Punkt X des Hyperboloids, bei denen die vierte Komponente zu 1 normiert ist.
Siehe dazu die Seite Regelflächen > ' Ceva'.

Das vorletzte Bild der Gleitschau zeigt, dass alle Zellen des Hyperboloid-Netzes elliptische Quadrate
sind. Die Eckpunkte sind anders als in der euklidischen Geometrie nicht komplanar. Im letzten Bild
sind auf den Geraden
AB und AD elliptische und euklidische Abstände von A angegeben.


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Die Animation illustriert, dass die Bilder eines Punktes A bei jeder Schraubung mit der gleichen
Achse g auf dem einschaligen Hyperboloid liegen, das nach dem Verfahren der vorangehenden
Animation aus g durch Clifford-Verschiebungen entsteht. A ist hier der Punkt (0 ; 1 ; 0) zum
Quadrupel a = (0 ; 1 ; 0 ; 1) und g die x-Achse. Die magentafarbige Kurve ist für jeweils feste
Werte von und der Graf der Funktion .

Im ersten Abschnitt der Animation durchläuft die Werte von 0° bis 360° , bei konstantem
. Um den Verlauf der Schraubenkurve deutlicher zu machen, wird dann der Augenpunkt
bei konstantem Werte-Paar (720° ; 360°) zunächst um die z-Achse und dann um die y-Achse
gedreht, bis er auf g liegt. Anschließend wird bei konstantem bis 720° erhöht. Die
hellgrünen Punkte markieren dabei die Schnittpunkte der magentafarbenen Schraubenkurve mit
dem hellgrünen Kreis, in dem das Hyperboloid von der y-z-Ebene geschnitten wird. Für das
Werte-Paar (720° ; 720°) entartet die Schraubenkurve zu einer Regulus-Geraden durch
A. Im
vierten Abschnitt wird bei konstantem bis 360° verkleinert, anschließend wird der
Augenpunkt zurückgedreht und dann bis 0° verkleinert. Im letzten Bild der Animation ist die
Schraubungskurve die Hyperbel, die sich als Schnitt des Hyperboloids mit der x-y-Ebene ergibt.


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In dieser Animation werden die Zusammenhänge der vorhergehenden mit anderen Parametern
dargestellt. Die Schraubungs-Achse g, die bisher mit der x-Achse zusammenfiel, wurde in den Punkt
P (0,2 ; 0,4 ; 0,2) verschoben und dann um P parallel zur x-y-Ebene gedreht. Der um g gedrehte
Punkt
A hat hier das Koordinaten-Tripel (0,2 ; 1,4 ; 0,2). Die magentafarbene Spur von A ist ein
Kegelschnitt
K, dessen Ebene g in einem Punkt M ungleich P schneidet. Alle Punkte von K haben
von P den gleichen Abstand bei elliptischer Messung, nicht aber bei euklidischer.
K ist in euklidischer
Hinsicht kein Kreis, wohl aber in elliptischer.

Auch hier werden die Regulus-Geraden des Hyperboloids in einem Punkt Q von
K dadurch erzeugt, dass
g mit einer Links- und einer Rechts-Translation längs der Geraden h durch P und Q verschoben wird. Jede
Translationen hat den Funktions-Term mit bzw. . Die Drehwinkel, die
bei den beiden Translationen auftreten, sind elliptisch gleich, aber euklidisch verschieden. Die angezeigten
euklidischen Winkel-Größen werden mit den grau markierten Winkeln bestimmt, die elliptischen mit den rot
bzw. blau markierten Winkeln.

Die so konstruierten Regulus-Geraden erzeugen ein Hyperboloid, dessen Gleichung auch hier mit
Hilfe derTeilverhältnis-Konstanten tvk = 1,06264 bestimmt werden kann, die im vorletzten Bild der
Gleitschau im Anschluss an die Standbilder der Animation illustriert wird. Ein Punkt X mit dem
Quadrupel
liegt genau dann auf dem Hyperboloid, wenn mit den Punkten
A, B , C und D gilt: .

Das letzte Bild der Gleitschau zeigt, dass hier die Zellen des Netzes aus Regulus-Geraden
keine elliptischen Quadrate sind, wohl aber elliptische Rauten.




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