Es lebe die Geometrie!

Catalanische Körper (polar-archimedische Körper) mit Symmetrie-Ebenen,
die aus einer Tetraeder-Kachelung abgeleitet werden können

Aus einem archimedischen Körper AK ergibt sich der zugehörige catalanische Körper CK
in folgender Weise:

Die Eckpunkte von CK sind die Pole der Seiten-Ebenen von AK bezüglich der Umkugel von AK.
Die Seiten-Ebenen von CK sind die Ebenen, welche die Umkugel in den Eckpunkten von AK berühren.
Jede Kante von CK liegt auf der Schnittgeraden zweier dieser Tangential-Ebenen, deren Berührpunkte in
AK durch eine Kante verbunden sind. Auf Grund dieser Eigenschaften wird CK 'polar' zu AK genannt.

Die Umkugel eines archimedischen Körper ist also Inkugel des zugehörigen catalanischen Körpers.

Die catalanischen Körper sind nach Eugene Catalan (1814-1894) benannt.

Die Animation zeigt gelbe Punkte, die sich auf den Seiten- und Winkelhalbierenden-Bögen einer Tetraeder-
Kachelung bewegen, und zwar in der Mitte im Kugel-Modell und unten im Poincare-Modell, dabei links
auf die Ausgangs-Kachel und eventuell ihre Nachbarn reduziert. Die Dreiecke mit je einer roten, grünen und
blauen geradlinigen Seite liegen im Kugel-Modell auf den Seitenflächen eines konvexen Polyeders, das die
Kugel als Inkugel hat mit den gelben Punkten als Berührpunkte. Wenn darum ein gelber Punkt zu mehreren
dieser Dreiecke gehört, dann ist die Vereinigung dieser Dreiecke eine vollständige Seitefläche des Polyeders.
Jede dieser roten, grünen oder blauen Seiten liegen in einer Großkreis-Ebene, die zu einem Seitenbogen der
Tetraeder-Kachelung in gleicher Farbe gehört. Darum liegt jeder Eckpunkt eines rot-grün-blauen Dreiecks
auf der Geraden durch die Kugelmitte und einen K-Eckpunkt der Tetraeder-Kachelung. Wenn diese
Eckpunkte nicht mit gelben Punkten zusammenfallen, sind sie Eckpunkte der Seitenflächen des konvexen
Polyeders mit der Einheitskugel als Inkugel. Wir bezeichnen sie dann als C-Eckpunkte ('C' für 'catalanisch').

Alle rot-grün-blauen Dreiecke des gleichen Polyeders sind euklidisch kongruent, ebenfalls die Seitenflächen.

Die gelben Punkte sind in sieben ausgezeichneten Positionen die Berührpunkte von catalanischen Körpern,
die die Einheits-Kugel als Inkugel haben. Sie sind dann die A-Eckpunkte der zugehörigen archimedischen
Körper, zu denen sie polar sind. Dies ist der Fall, wenn jeder gelbe Punkt euklidischer Mittelpunkt vom
Inkreis einer Polyeder-Seitenfläche ist. Das ellipsenförmige Projektionsbild dieser Inkreise macht die Neigung
der Seitenfläche gegenüber dem Betrachter deutlich.

Die Polyeder haben in allen (nicht nur in den ausgezeichneten) Positionen die gleiche Symmetrie-Gruppe
aus euklidischen Kongruenz-Abbildungen wie die Tetraeder-Kachelung im Kugel-Modell.

Der gelbe Punkt D in der Ausgangskachel K0 unten links ist in Position 1 der Schnittpunkt der roten Seite
mit der violetten Halbierenden des gegenüberliegenden Winkels. D ist dann folglich das nicht-euklidische
Zentrum des Inkreises aus der Vereinigung von K0 mit dem Spiegelbild an der roten Seite. Entsprechendes
gilt für die Positionen 3 und 5. In den Positionen 2, 4 und 7 ist D das Inzentrum der Vereinigung der sechs
bzw. vier Kacheln, die einen Eckpunkt in D haben. In Position 6 ist D das Inzentrum von K0 allein.

Aus der Lage der gelben Punkte auf Winkelhalbierenden in den ausgezeichneten Positionen folgt:

Die Großkreis-Bögen zwischen benachbarten gelben Punkten sind gleich lang.

Die Kanten des archimedischen Körpers sind gleich lang.

Die Winkel zwischen benachbarten Seitenflächen des catalanischen Körpers sind gleich groß.

Die Animation zeigt den Zusammenhang zwischen den archimedischen Körpern, die aus der
Tetraeder-Kachelung durch Spiegelungen abgeleitet werden können, und den dazu polaren
catalanischen Körpern. Die dünn rot, grün oder blau eingezeichneten Großkreise gehören zu
den Seiten der Tetraeder-Kachelung, die violetten zu Winkelhalbierenden der Kacheln. In den
sieben ausgezeichneten Positionen sind die gelben Punkte Eckpunkte der archimedischen Körper
und Inkreis-Mittelpunkte von Seitenflächen der polaren catalanischen Körper. Auch in jeder Position
dazwischen ist die der Kugel umbeschriebene Körper polar zu dem einbeschriebenen Körper; beide
treffen sich auf der Kugel in den gelben Punkten.

sei einer der gelben A-Eckpunkte auf dem Rand einer Seitenfläche F eines
archimedischen Körpers AK. sei der K-Eckpunkt der Tetraeder-Kachelung auf
der Verbindungsgeraden der Mitte von F mit dem Kugel-Mittelpunkt O. Dann hat F den euklidischen
Abstand von O (siehe auch die Seite 'Archimedes 2'). Dies ist
der Kosinus-Wert des Bogen-Abstands von P und Q. Der Pol R von F ist C-Eckpunkt des zu AK
polaren Körpers CK. Daraus folgt, dass R auf der Geraden OQ liegt mit dem Kehrwert von d als
Abstand von O.

Die Animation zeigt die catalanischen Körper in massiver Darstellung. Die gelben und grauen
Dreiecke entsprechen den Dreiecken der Tetraeder-Kachelung.