Es lebe die Geometrie!

Evolventen von Zykloiden und der Satz von Holditch

Die blaue Kurve ist eine Steiner-Zykloide, die dadurch entsteht, dass ein Gang-Kreis mit dem Radius
1/3 innen ohne zu Rutschen an einem Rastkreis vom Radius 1 abrollt und dabei ein Randpunkt (hier gelb)
des Gang-Kreises eine Spur zeichnet. Der Weg dieses Punktes wird in komplexer Schreibweise durch
beschrieben und in kartesischer Darstellung durch
,
wobei einen Richtungswinkel der Tangente in dem Punkt angibt.

In den vier Perioden dieser Animation wird die rote Spitzen-Evolvente der blauen Steiner-Zykloide
zusammen mit jeweils einer weiteren Evolvente dargestellt, die grün gezeichnet ist. Die Spitzen-Evolvente
ist ein Gleichdick, hat also in jeder Richtung zwei Tangenten im gleichen Abstand, zwischen denen diese
Kurve liegt. Die beiden gegenüberliegenden Berührpunkte A (dunkelrot) und B (hellrot) sind Endpunkte
einer Sehne mit konstanter Länge s. Da der Radius des Rastkreises der Steiner-Zykloide hier gleich 1 ist,
hat s den Wert 16/9. Jede der Sehnen AB berührt die Steiner-Zykloide. Die günen Evolventen ergeben
sich als Spur des grünen Punktes C auf der Sehne AB. Dieser Punkt kann mit Hilfe der Koordinaten von
A und B durch den Parameter u festgelegt werden: . In den
vier Perioden der Animation ist u nacheinander 0,5 ; 0,56 ; 0,62 und 0,73. Für u = 0,5 ergibt sich die
Bogenmitten-Evolvente der Steiner-Zykloide, die selbst Steiner-Zykloide zum Rastkreis-Radius 1/3 ist.
Bei einem Umlauf gegen den Uhrzeigersinn von A auf der roten Spitzen-Evolvente wird die grüne
Bogenmitten-Evolvente durch C zweimal im Uhrzeigersinn durchlaufen. Bei der Evolvente zu u = 0,56
erscheinen die beiden Durchläufe auseinandergezogen, so dass einige Punkte der eingeschlossenen Fläche
einmal umrundet und andere zweimal umrundet werden. Dies wird durch die unterschiedlichen Farbtöne
hellrosa und dunkelrosa ausgedrückt. Wenn u = 0,62 ist, ist der zweimal umrundete Bereich verschwunden,
und für u = 0,73 kommt ein grüner Bereich hinzu, dessen Punkte einmal gegen den Uhrzeigersinn umrundet
werden. Die grünen Bereich sind konvex, die rosa-farbigen konkav.

Bei der Berechnung des signierten Inhalts der von der Evolvente
eingeschlossenen Fläche durch das Integral ergibt sich eine Zahl, die auch in folgender Weise
bestimmt werden könnte: Zunächst berechnet man die Inhalte (im gewöhnlichen Sinne) der gleichfarbigen
Teilflächen, multipliziert sie dann mit 1 , -1 bzw. -2, je nachdem die Färbung grün, hellrosa bzw. dunkelrosa
ist, und addiert die so gebildetetn Produkte anschließend. Dann gilt nach dem
Satz von Holditch. ist der Flächeninhalt (im gewöhnlichen Sinn) der rot karierten Fläche, die von der
roten Spitzen-Evolvente eingeschlossen wird, und gibt den Inhalt der grau karierten
Ellipse an, von der die Sehne AB eine Hauptachse-Durchmesser ist. Der zugehörige konjugierte
Durchmesser hat darum die Länge . Da hier negativ ist, muss der Inhalt der Ellipse
größer sein als der Inhalt der von der Spitzen-Evolvente eingeschlossenen Fläche. Im Fall u = 0,5 ist die
Ellipse ein Kreis mit dem Inhalt . Da die Steiner-Zykloide zum Rastkreis-Radius 1
eine Fläche vom Inhalt umschließt, beträgt der Inhalt (im gewöhnlichen Sinn) der von der Bogenmitten-
Evolvente umschlossenen Fläche . Nach dem Satz von Holditch ist darum .


Zu dem gelben Berührpunkt der Steiner-Zykloide gehört der Parameter , wobei
Richtungswinkel der Geraden AB ist.

Hier wird die Zusammenhang der drei Flächen zu den beiden Evolventen und der Ellipse für Werte
des Parameters u zwischen 0 und 1,23 dargestellt.

Die Animation zeigt die rote +3-Zykloide, die durch Abrollen eines Gangkreises vom Radius 1/3 außen
an einem Rastkreis vom Radius 1 entsteht. Die Sehnen AB haben die konstante Länge 8/3. Sie berühren
die blaue Hüllkurve, die eine Steiner-Zykloide ist. Die grüne Kurve entsteht als Spur des grünen Punktes C,
der die Sehne im Verhältnis (1 - u) : u teilt. In den vier dargestellten Perioden ist u nacheinander 0,5 ; 0,59;
0,625 und 0,79. Die vier verschiedenen Grüntöne der Teilflächen markieren Punkte mit den Umlaufzahlen
+4 ; +3 ; +2 und +1. Der signierte Inhalt der Fläche, welche die Spurkurve einschließt, ergibt sich durch
Multiplikation dieser Umlaufzahlen mit den Inhalten (im gewöhnlichen Sinne) der zugehörigen Teilflächen und
anschließender Addition der Produkte. Für u = 0,5 erhält man so den vierfachen Inhalt des dunkelgrünen
Kreises vom Radius 1/3. Nach dem Satz von Holditch ergibt sich der Inhalt der Fläche, welche von der
roten Kurve eingeschlossen wird, indem man zu den Inhalt des grauen Kreise über dem Durchmesser AB
addiert, also . Auch für die übrigen u-Werte gibt die Differenz den Inhalt
der grauen Ellipse über dem Durchmesser AB an, nämlich .

Die blaue Kurve ist hier eine Astroide, die dadurch entsteht, dass ein Kreis vom Radius 1/4 ohne zu
Rutschen innen an einem Rast-Kreis vom Radius 1 abrollt und dabei ein Randpunkt des Kreises
eine Spur zeichnet. Der Weg dieses Punktes wird in komplexer Schreibweise durch

beschrieben, wobei einen Richtungswinkel der Tangente in dem Punkt angibt.

Die roten Kurven sind Evolventen durch die Spitzen der blauen Astroide. Darauf bewegen sich der
dunkelrote Punkt A und der hellrote Punkt B so, dass die Verbindungsstrecke stets tangential zur
Astroide verläuft. Die Länge s dieser Strecke ist 3/2, da der zur Astoide gehörige Rastkreis den Radius
1 hat. Der grüne Punkt C zum Parameter u teilt die Strecke AB im Verhältnis (1-u) : u. Seine Spur
bei der Bewegung der Strecke tangential zur Astroide ist die grün gezeichnete Evolvente. Die dadurch
eingeschlossenen Fläche setzt sich aus den rosa und grün gezeichneten Flächenteilen zusammen. Wenn
die Inhalte (im gewöhnlichem Sinne) der rosafarbenen Teile mit -1 multipliziert werden und die grünen
mit 1, dann ergibt die Summe dieser Produkte den signierten Flächeninhalt . Die karierten Fläche
der Ellipsen mit der Strecke AB als Hauptachsen-Durchmesser beträgt . Die Inhalte
und der von den beiden roten Spitzenevolventen eingeschlossenen Flächen stimmen überein.
Darum lässt sich der Satzes von Holditch (nach Arne Broman) anwenden und es gilt auch hier
.

In der Animation werden drei Perioden zu den Parametern u gleich 0,5 ; und
1,035 gezeigt. Für u = 0,5 ist die grüne Evolvente eine Astroide zum Rastkreisradius 0,5 mit der blauen
Astroide als Evolute (= geometrischer Ort der Krümmungsmittelpunkte). Ihr Flächeninhalt ist der Betrag
der Inhalts-Differenz von der rot karierten Triphil-Fläche der Spitzen-Evolvente und der schwarz karierten
Fläche der Ellipse, die für u = 0,5 ein Kreis ist. Da die grüne Evolventenfläche beträgt, hat
das Triphil den Inhalt . Für ist , darum haben dann die
beiden karierten Flächen den gleichen Inhalt. Im Fall u = 1,035 ist die schwarz karierte Fläche so groß wie die
Randfläche zwischen grüner und roter Kurve

Zu dem gelben Berührpunkt der Astroide gehört der Parameter , wobei
Richtungswinkel der Geraden AB ist.

Hier werden die grünen Evolventen der blauen Astroide für Parameterwerte u zwischen
-1,035 und +1,035 gezeigt.