Es lebe die Geometrie!

Fünfeck-Kachelungen

--> Pdf-Datei ' Kachelungen, die mit Nachbar-Bewegungen erzeugt werden'
(https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Kachelungen.pdf)

Das Basis-Fünfeck ABCDE ergibt sich aus einem gleichschenkligen Dreieck ABC mit dem Winkel
120° bei B, indem die Seiten AB und BC mit den Drehwinkeln 90° bzw. -90° um A bzw. C gedreht
werden. Die Größen der Innenwinkel sind dann 90°, 120°, 90°, 120° und 120°. Zum Anlegen von
Nachbar-Kacheln wird eine Drehung um 90° bzw. -90° mit dem Drehpunkt A bzw. C benutzt, sowie
eine 180°-Drehung um den Mittelpunkt der Seite DE. Die entstehende periodische Kachelung wird
"Kairo"-Kachelung" genannt. Sie ist eine sogenannte "Laves-Kachelung", denn sie hat die besondere
Eigenschaft, dass in jedem Eckpunkt Kacheln mit gleich großen Innenwinkeln zusammenstoßen.
Kacheln, die durch eine Verschiebung auseinander hervorgehen, sind hier in der gleichen Farbe gezeichnet.
Jeweils vier verschieden farbige Kacheln kann man sich zu größeren Kacheln zusammengefasst denken,
die alle gleich orientiert sind. Sie bilden das schwarz gezeichnete Muster im Hintergrund.
Variationen dieser Kachelung ergeben sich, wenn man die Winkel oder die Seitenlängen
im Dreieck ABC variiert, wobei die Eigenschaft der Laves-Lachelung verloren geht.
Die Seite EA hat in der Animation die Nummer 1.

Das Basis-Fünfeck ABCDE ist auch hier wieder ein Polygon mit den Innenwinkeln 90°, 120°, 90°,
120° und 120°, bei dem die Seiten AB, AE, BC und CE gleich lang sind. Als Nachbar-Bewegungen
werden aber hier nicht 90°-Drehungen um A und C benutzt, sondern Gleitspiegelungen, die die Seiten
AB bzw. BC in DC bzw. EA abbilden. Die Nachbar-Bewegung zur Seite DE ist auch hier die 180°-
Drehung. Die dadurch erzeugte Kairo-Kachelung unterscheidet sich von der in der vorigen Animation
durch die Lage der Halbpfeile, die die Seite mit der Nummer 1 markieren.
Bei den Variationen dieser Kairo-Kachelung geht man wieder von einem Dreieck ABC aus, bei dem
die Winkel und Seitenlängen verändert sind. Der Punkt D ist dann der Bildpunkt von B bei einer Gleit=
spiegelung G1, die A in C abbildet. E ist der Bildpunkt von B bei der Gleitspigelung G2, die C in A
abbildet und deren Achse senkrecht zur Achse von G1 steht. Um diese Konstruktion durchzuführen,
bestimmt man den Mittelpunkt M von AC. Dann wählt man weitgehend beliebig eine Gerade g1 durch
A und spiegelt B erst an g1 und das Ergebnis anschließend an M, um D zu erhalten. E ergibt sich, indem
man B erst an der Lotgeraden g2 von C auf g1 spiegelt und dann wieder die Punktspiegelung an M
nachschaltet.

Bei dieser periodischen Fünfeck-Kachelung geht man von einem Dreieck ABC aus, das bei
B einen Winkel von 120° hat und bei dem die Seite BC doppelt so lang ist wie die Seite AB.
Während in der ersten Animation in A bzw. C Drehungen um 90° bzw. -90° benutzt wurden,
wird hier aber eine Drehung um 120° bzw. -60° verwandt. Dann ergibt sich auch hier eine
Laves-Kachelung. Bei Veränderung der Form des Dreiecks ABC hat die durch Nachbar-
Bewegungen entstehende periodische Kachelung jedoch nicht mehr die Eigenschaft, dass die
Innenwinkel der Kacheln, die an einem Eckpunkt zusammenstoßen, alle gleich groß sind.
Die Seite EA ist durch einen Halbpfeil markiert, sie hat also auch hier die Nummer 1.
Bei der Bewegung der Kacheln zur Veranschaulichung des Anlegeprozesses wird durch
eine dünne hellblaue Zeichnung verdeutlicht, dass durch die Nachbar-Bewegungen nicht nur
die gerade neu angelegte Kachel in die Kachelung eingefügt wird, sondern dass sich das
Bewegungs-Bild aller bisher ausgelegten Kacheln ebenfalls einpasst. Dies ist eine Eigenschaft
aller Kachelungen, die durch Nachbar-Bewegungen erzeugt werden.