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Winkelhalbierende im 6-Rechteck

Geometrie 1 > hyperbolische Raumgeraden

Winkelhalbierende im 6-Rechteck des hyperbolischen Raumes

-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum I'
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_I.pdf

Das 6-Rechteck des hyperbolischen Raums ist gleich definiert wie für den euklidischen Raum,
nämlich als räumliches 6-Eck, bei dem die in den Eckpunkt zusammentreffenden Geraden
orthogonal sind, hier hyperbolisch orthogonal. Wenn man von drei paarweise nicht komplanaren
Geraden ausgeht und zu jedem Paar dieser Geraden eine der beiden zueinander polaren
Achsen auswählt, bilden die Lotfußpunkte dieser Achsen ein hyperbolisches 6-Rechteck.



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Diese Animation entspricht der für euklidische 6-Rechtecke auf der Seite
' euklidische Raumgeraden>Winkelhalbierende'.
In den vier Phasen der Animation werden die vier Möglichkeiten für Achsen von je drei der
Winkelhalbierenden in einem hyperbolichen 6-Rechteck
ABCDEF im Innern der Einheits-Kugel K
dargestellt. Die Kanten von
ABCDEF wurden bis zu den weiß gefüllten Punkten auf K verlängert. Das
6-Rechteck ist analog zu einem Dreieck
ACE , das unten rechts im Bild gezeigt wird. Zu den Kanten
AB, CD und EF wurden die Mittenkreuze eingezeichnet, und zwar beim inneren hyperbolischen Mittelpunkt
der jeweiligen Kante. Die graue und die schwarze Strecke sind hyperbolisch orthogonal. Die Ausrichtung
dieser Strecken ist in allen vier Phasen der Animation gleich. Die grau gezeichnete Strecke gibt die Richtung
der Winkelhalbierenden an, die in der jeweiligen Phase unter den beiden Winkelhalbierenden durch den
Mittelpunkt ausgewählt wurde. Die mit einem gelben Mittelstreifen gezeichnete Achse dreier Winkelhalbierender
entspricht im Analogie-Dreieck unten rechts dem Inkreis- oder einem Ankreis-Zentrum.

Der Tatsache, dass diese Zentren von allen drei Seiten des Analogie-Dreiecks den gleichen Abstand haben,
entspricht beim 6-Rechteck der Gleichheit der Zahlen-Paare an den dunkelrot, dunkelgrün und dunkelblau
gezeichneten Lotverbindungen der Winkelhalbierenden-Achse mit den Kanten-Geraden zu
DE, BC und FA.
Dies Zahlenpaar gibt das Maß für das Geraden-Paar an, auf das die gelben Pfeile zeigen. Es setzt sich aus
einer Winkelgröße und aus einem Abstandsmaß zusammen.

Zur Berechnung dieser Maße gehen wir von k-normierten Tripeln komplexer Zahlen
s, u und w aus, die zu den
Geraden der Kanten
BC, DE und FA gehören. Die Tripel dreier Winkelhalbierenden sind dann ,
und , und das Tripel der gemeinsamen Achse ist der k-normierte Term zu ,
also . Wenn man jeweils zwei der drei Tripel
s, u und w mit -1 multipliziert, erhält man die anderen
drei Achsen. Bei dem Zahlen-Paar des Abstandsmaßes ist die zweite Zahl der hyperbolische Abstand d der
Lotfußpunkte. Dieser Abstand wurde auf der Seite ' hyperbolische Raumgeraden>Orthogonalität' erklärt.
Bei dem Maß für das Geradenpaar zu
s und m ist die erste Zahl , wobei
den Realteil der komplexen Zahl angibt. Die Zahl ist in der Grad-Schreibweise angegeben, wobei
das Zeichen ° für den Faktor steht. Für die komplexe Zahl gilt , denn
. Es ist dies die gleiche
Beziehung, die am Schluss der Seite ' euklidische Raumgeraden>Mittelsenkrechte' dargestellt wurde.


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Die Animation zeigt, dass es längs jeder Winkelhalbierenden-Achse drei hyperbolische Schraubungen
gibt, welche die Kanten-Geraden von
DE, BC und FA in die jeweils folgende dieser drei Kanten-Geraden
abbilden. Bei jeder dieser Schraubungen wird eine zur Achse orthogonale Gerade g in eine dazu orthogonale
Gerade h abgebildet. Ihre k-normierten Tripel seien
y und y*. Das Paar aus Winkelgröße und Abstand zum
Geradenpaar (g;h) sei . Dann ist . Sei
m k-normiertes Tripel der Achse. a sei die
komplexe Zahl . Dann wird die Schraubung beschrieben durch die Abbildung
.
Siehe dazu Satz 48 in dem unter dem Kopf dieser Seite angegebenen Text.

Die Zwischenzustände bei dieser Schraubung ergeben sich dadurch, dass und d mit dem gleichen Faktor
zwischen Null und Eins multipliziert werden. Dadurch kann die Spur der Endpunkte der Kugelsehne auf K
gezeichnet werden.

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