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Sechseck-Kachelungen

--> Pdf-Datei ' Kachelungen, die mit Nachbar-Bewegungen erzeugt werden'
(https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Kachelungen.pdf)

Dem regelmäßigen Basis-Sechseck ABCDEF sind als Nachbar-Bewegungen Translationen der
1. in die 4. Seite und der 4. in die 1. Seite zugeordnet und den übrigen Seiten 180°-Drehungen um
die Seitenmitten. Die Signatur ist darum 423156. Variationen des regelmäßigen Sechsecks ergeben
sich, indem man von einem Parallelogramm ABDE ausgeht und zwei Punkte C und F zufügt, so dass
es im Polygonzug ABCDEFA keine Überschneidungen gibt

Dem regelmäßigen Basis-Sechseck ABCDEF sind als Nachbar-Bewegungen 120°-Drehungen um
A, C und E zugeordnet. Dabei ist FA die Seite mit der Nummer 1. Variationen der Kachelung ergeben
sich, wenn man von einem beliebigen Dreieck FBD ausgeht und an die Seiten gleichschenklige Dreiecke
mit den Innenwinkeln 30°, 30° und 120° ansetzt.

Die Nachbar-Bewegungen des regelmäßigen Sechsecks ABCDEF sind 180°-Drehungen um die 4.
und 6. Seite , Gleitspiegelungen zum Seitenpaar mit den Nummern 1 und 3 und Gleitspiegelungen
zum Seitenpaar mit den Nummern 2 und 5. Variationen der entstehenden Kachelungen erhält man,
wenn man von einem beliebigen Viereck ABCD ausgeht und mit Hilfe zweier Gleitspiegelungen G1
und G2 die Eckpunkte E und F bestimmt. Dabei ist G1 eine Gleitspiegelung, die C auf A abbildet,
und G2 eine Gleitspiegelung, die A auf D abbildet. Außerdem sollen die Achsen von G1 und G2
orthogonal sein. Dann ist E das Bild von B bei G1 und F das Bild von B bei G2.
Man kann E und F zu Beispiel folgendermaßen konstruieren: M1 sei der Mittelpunkt von A und D und
g1 eine Gerade durch A. Man erhält dann E, indem man B erst an g1 und das Ergebnis anschließend
an M1 spiegelt. M2 sei der Mittelpunkt von A und C und g2 die Lotgerade von C auf g1. Wenn man
dann die Spiegelungen an g2 und M2 hintereinanderschaltet, ergibt sich aus B der Eckpunkt F.