Es lebe die Geometrie!

Kugelkreis-Dreiseite ohne Seitenschnittpunkte

--> Die Pseudosphäre und die hyperbolische Geometrie
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Hyperbolische_Geometrie.pdf

Anders als in der euklidischen und der elliptischen Geometrie gibt es in der hyperbolischen Geometrie
nicht-triviale Dreiseite ohne Eckpunkte, auf die sich Sätze über Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende,
Winkelhalbierende und Höhen übertragen lassen. In den folgenden vier Animationen wird das für die
vier Geradentypen im Rahmen der Kugelkreis-Geometrie dargestellt. Die zu diesen Z-'Geraden' gehörigen
Kugelflächen-Kreise liegen alle in Ebenen durch einen Punkt Z auf der z-Achse außerhalb der Kugel.
Ihre Bilder im Klein-Modell bzw. Poincare-Modell, die bei Zentralprojektion auf die Tangentialebene
im Nordpol mit Z bzw. dem Südpol als Zentrum entstehen, sind in den Animationen links bwz. rechts
oben eingezeichnet.

Das betrachtete Dreiseit wird durch drei Punkte in der Tangentialebene des Nordpols festgelegt, die
bei den Animationen unverändert bleiben. Sie wurden so gewählt, dass die Parallelen zur z-Achse durch
diese Punkte die Kugel nicht schneiden, dass aber die drei Ebenen durch Z und je zwei dieser Punkte
Schnittkreise mit der Kugel haben. Wir bezeichnen diese Seiten-Kreise mit a, b und c. Wenn Z sich auf
der z-Achse der Kugel aus großer Entfernung nähert, verkleinert sich der Abstand zwischen den Seiten-
Kreisen und sie schneiden sich dann. Wenn Z im Südpol liegt, liegt dieser auf allen drei Seiten-Kreisen;
die zugehörige Geometrie ist dann euklidisch.

Alle vier Animationen laufen nach dem gleichen Schema ab: Es gibt fünf Stops für verschiedene Positionen
von Z (die ersten beiden mit 360°-Flügen). Bei den ersten beiden Stops sind a, b und c paarweise getrennt,
beim dritten schneiden sich nur a und b nicht, beim vierten schneiden sie sich alle drei paarweise, und beim
fünften liegt der euklidische Fall vor.

Hier geht es um das Schneiden von Z-'Mittelsenkrechten'. Die Z-'Mittelsenkrechte' z.B. zu der Seite a
ist folgendermaßen definiert: bzw. seien die Schnittgeraden der Ebenen zu a und b bzw. a und c.
Dann gibt es in manchen Fällen eine Kugelkreis-Spiegelung , die in abbildet, wobei der Punkt
P außerhalb der Kugel in der Ebene mit dem Pol Z liegt. Dann ist der Kugelkreis mit dem Pol P die gesuchte
Z-'Mittelsenkrechte' von a. Diese Spiegelung gibt es immer dann, wenn und beide die Kugel entweder
in zwei Punkte schneiden oder beide nicht schneiden. Darum existieren drei Z-'Mittelsenkrechte' in den Fällen,
dass a, b und c paarweise getrennt sind oder sich paarweise schneiden. Die Ebenen dieser drei
Z-'Mittelsenkrechten' haben stets eine Gerade gemeinsam. Wenn sich darum zwei der Z-'Mittelsenkrechten'
schneiden, dann geht auch die dritte durch jeden Schnittpunkt; und die beiden gemeinsame Punkte liegen
auf einer Geraden m durch Z. Im Fall des paarweise Schneidens der Z-'Seitengeraden', wenn es also Eckpunkte
A, B und C gibt, existiert dazu ein Umkreis mit dem Pol auf m. In der Animation kommen bei allen Stops außer
dem dritten drei Z-'Mittelsenkrechte' vor. Beim zweiten Stop schneiden sie sich nicht. Die zugehörigen Geraden
im Klein-Modell haben dennoch einen gemeinsamen Punkt, der allerdings außerhalb des schwarzen Kreises
liegt, der das Bild des Kugelkreises mit dem Pol Z ist und die Punktmenge des klassischen Klein-Modells begrenzt.

Bei den Z-'Seitenhalbierenden' treten ähnliche Effekte auf wie bei den Z-'Mittelsenkrechten', weil in
beiden Fällen ein Punkt benötigt wird, der dem Mittelpunkt einer Seite entspricht. Man definiert
die Z-'Seitenhalbierende' von a in folgender Weise: sei die Schnittgerade der Ebenen von b und c.
sei die Schnittgerade der Ebenen von a und der Z-'Mittelsenkrechten' m zu a. Dann haben diese
beiden Schnittgeraden den Punkt Z gemeinsam und liegen darum in einer Ebene, deren Schnittkreis
mit der Kugel wir als Z-'Seitenhalbierende' von a bezeichnen. Wie bei den Z-'Mittelsenkrechten'
gibt es diese Z-'Seitenhalbierende' nur dann, wenn und entweder beide die Kugel nicht
treffen oder sie beide in zwei Punkten schneiden. Wenn es drei Z-'Seitenhalbierende' gibt, haben
sie stets zwei gemeinsame Schnittpunkte, deren Verbindungsgerade durch Z verläuft.

Eine Z-'Winkelhalbierende' zu einem Paar a, b von Kugelflächen-Kreisen ist ein Kugelfächen-Kreis
mit einem Pol P, dessen Spiegelung a in b abbildet. Wenn a und b sich in zwei Punkten schneiden,
existieren zwei derartige Z-'Winkelhalbierende', andernfalls nur eine. Es gibt stets drei Z-'Winkelhalbierenden'
eines Dreiseits abc mit zwei gemeinsamen Punkten, die mit Z kollinear sind. Auf der Verbindungsgeraden
liegt der Pol eines Kreises, der a, b und c berührt.

In einem Kugelflächen-Dreiseit abc existieren stets drei Z-'Höhen'. Es gibt also keine Ausnahmen wie
bei Z-'Mittelsenkrechten' oder Z-'Seitenhalbierenden'. Es sei die Schnittgerade der Ebenen von
b und c. Dann ist die Z-'Höhe' zu a der Schnittkreis der Ebene durch und den Pol von a. Die drei
Z-'Höhen' im Kugelflächen-Dreiseit haben immer eine gemeinsame Gerade durch Z. Wie bei den
Z-'Mittelsenkrechten' kann es aber vorkommen, dass diese Gerade die Kugel nicht schneidet. Dann
haben die Z-'Höhen' paarweise also keinen gemeinsamen Punkt. Die Bildkreise der Z-'Höhen' im
Klein-Modell schneiden sich dann in einem Punkt außerhalb des schwarzen Bildes des Kugelkreises
zu Z.