Es lebe die Geometrie!

Trieder-Winkel beim Tetraeder

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Wir betrachten auf dieser Seite die Relationen zwischen den Winkeln beim D-Trieder eines Tetraeders
ABCD , also für den Raum-Bereich, der von den drei Seiten-Ebenen durch den Punkt D begrenzt wird
und in dessen Innern das Tetraeder liegt. Wir bezeichnen die euklidischen Maße der Winkel BDC, CDA
und ADB mit, und . Es sind also Winkel zwischen Kanten. Die Maße der Winkel zwischen den
Seiten-Flächen, die sich in den Kanten DA, DB und DC schneiden, bezeichnen wir mit , und .
Die Zeilen der auf der Seite ' Monge' definierten Matrix H sind baryzentrische Quadrupel von u-Vektoren,
die euklidisch orthogonal zu den Seiten-Flächen sind. Um die Unbestimmtheit zwischen Winkel und
Neben-Winkel zu vermeiden, wählen wir für alle vier Flächen als Richtung die Richtung von der Fläche
ins Innere des Tetraeders oder für alle vier Flächen die Gegen-Richtung. Die Maße der Winkel zwischen
diesen Vektoren stimmen mit den Maßen der Nebenwinkel der mit , und gemessenen
Winkel überein.

Außer den Kanten- und Flächen-Winkeln betrachten wir das euklidische Maß des Raum-Winkels vom
D-Trieder. Aus der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius 1 um D schneidet das D-Trieder zwei sphärische
Dreiecke heraus, die punktsymmetrisch zu D sind. Die Dreiecke werden von Bögen auf Kreisen mit dem
Zentrum D begrenzt. ist definiert als der Flächen-Inhalt jedes dieser Dreiecke. Der Inhalt der gesamten
Oberfläche beträgt , wobei wir den hochgestellten Kreis als denFaktor ansehen.

In den Animationen benutzen wir ein gleichschenkliges Tetraeder ABCD, bei dem die Kanten DA, DB
und DC die Länge 1 haben. Dann liegen A, B und C also auf der Oberfläche der Kugel mit Radius 1 um D.
Der Fußpunkt des Lots von D auf die Fläche ABC ist der Mittelpunkt des Umkreises vom Dreieck ABC.
In den auf dieser Seite angegebenen Formeln bedeuten a, b und c die Seiten-Längen des Dreiecks ABC
im gleichschenkligen Tetraeder Tg. Man kann diese Formeln auf das D-Trieder eines beliebiges Tetraeders
Tb mit den Kanten-Längen a, b, c as, bs und cs anwenden, indem man a, b und c in den Formeln dieser
Seite ersetzt durch , und . Dies sind die Längen der
Seiten in dem Dreieck mit Eckpunkten im Abstand 1 von D auf den Kanten-Geraden DA, DB und DC von Tb.
Diese Punkte haben bezüglich Tb die baryzentrischen Koordinaten , und
. Wir nennen sie Eckpunkte des 'Einheits-Schnitts' des D-Trieders von Tb. Der Einheits-
Schnitt des A-Trieders von Tb hat Eckpunkte , und
auf AD, AC und AB mit den Seiten-Längen , und .
Zur Bestimmung der Nennern orientiert man sich an den Bezeichnungen der Kanten-Länge der Trieder,
also as, bs, cs bei D, as, b, c bei A, a, bs, c bei B und a, b, cs bei C. Im Zähler kommen die Buchstaben
'a', 'b' und 'c' alle drei vor, mit dem Zusatz 's' entweder zweimal oder keinmal.

Das erste Bild der Animation zeigt ein gleichschenkliges Tetraeder ABCD mit den Maßen der Kanten-
Winkel und der Flächen-Winkel . , und
sind Maße von Winkel zwischen Vektoren, die senkrecht zu den Flächen verlaufen und am
Mittelpunkt der Umkugel von ABCD angeheftet sind. A, B und C sind Punkte der Kugel K um D mit
dem Radius 1. Die Kreisbögen, welche diese Punkte verbinden, liegen auf den Schnitt-Kreisen von K mit
Seiten-Ebenen durch D. Die an A, B und C angehefteten Pfeile sind Tangenten-Vektoren dieser Kreise.
Sie schließen Winkel der Maße , und ein.

Nach der Grund-Formel zur Berechnung des zu einem sphärischen Dreieck gehörigen Raum-Winkels ist
, also der Überschuss von der Summe der Maße der Innen-Winkel des
sphärischen und des ebenen Dreiecks mit den Eckpunkten A, B und C..

Die Maße von Kanten-Winkeln, Flächen-Winkeln und Raum-Winkel können in einem Satz, der dem Sinus-
Satz der Dreiecks-Geometrie entspricht, in einer Formel verbunden werden. Für ein gleichschenkliges
Tetraeder ABCD gilt :

Für ein beliebiges Tetraeder gelten die ersten beiden Gleichheits-Zeichen immer, das dritte nur dann, wenn
man a, b und c in der oben angegebenen Weise ersetzt.

In der Animation wird ABCD um 360° gedreht. Anschließend werden a, b und c variiert.

Die Zeichnungen erklären die ersten beiden Gleichheits-Zeichen in dem oben angegebenen Sinus-Satz
für Trieder. Die rot gezeichnete Strecke verbindet den Eckpunkt A von ABCD mit dem Fußpunkt P
des Lots auf die Seite BCD; sie ist also die Raum-Höhe zu A. Von P aus wird das schwarze Lot auf die
Kante BD bzw. CD gefällt mit dem Fußpunkt Q bzw. R. Die schwarze Verbindungs-Gerade von Q bzw.
R mit A ist dann orthogonal zur Kante BD bzw. CD . Darum ist das Maß des Winkels PQA bzw. PRA
gleich bzw. . Da AD die Länge 1 hat und das Dreieck ADQ rechtwinklig ist, hat AQ die Länge
und AP die Länge , da auch das Dreieck AQP rechtwinklig ist. Analog
errechnet man . Daraus folgt und analog mit der Höhe
auch .

Zur Herleitung der Gültigkeit des dritten Gleichheits-Zeichens im oben angegebenen Sinus-Satz gibt es
bisher keinen geometrisch anschaulichen Weg. Es ist darum nötig zum Beweis auf Formeln der
sphärischen Trigonometrie (Trigonometrie auf der Kugel) zurückzugreifen. Wir gehen aus von den
Formeln, die Carl Mollweide (1774-1825) 1808 veröffentlicht hat. (Er transformierte bekannte
Formeln über ebene Dreiecke in Formeln über Kugel-Dreiecke.) Zur Formulierung benutzen wir die
oben verwandten Bezeichnungen der Winkel-Maße beim D-Trieder, lassen aber den Index D weg,
da die Formeln für jedes Tetraeder gelten. Nach Mollweide gilt :
und

Hieraus folgt durch Subtraktion auf beiden Seiten


Wegen und
und und folgt


Es ist also .

Da in unserem Tetraeder ABCD die Dreiecke ABD , BCD und CAD gleichschenklig sind, gilt
, und , also .

H sei die auf der Seite ' Monge' eingeführte Maß-Matrix für Ebenen, hier mit as = bs = c s = 1, und
der Flächeninhalt des Dreiecks ABC . Die Zeilen (und Spalten) von H sind baryzentrische Quadrupel von
u-Vektoren, die euklidisch orthogonal zu den Seiten von ABCD sind, und die Komponente ist das
Skalarprodukt der i-ten und der k-ten Zeile. Darum ist .
Das Quadrat des Flächeninhgalts des Seiten-Dreiecks ABC ist nach der Heron-Formel
.
Man errechnet ,

und
und damit und , wobei
das 12-fache Volumen von ABCD ist.

Es folgt .