Es lebe die Geometrie!

Kachelungen im Kreis-Modell, die mit Nachbar-Bewegungen aus einem
Dreieck mit der Signatur -32-1 oder -3-2-1 erzeugt werden

Die Gleitschau zeigt Kachelungen zur Signatur -32-1. Die Nachbar-Bewegung B1 ist die hyperbolische
Gleispiegelung, welche die Seite 3 auf die Seite 1 abbildet. Die Seiten 1 und 3 müssen darum gleich lang
sein und der Innenwinkel beim Eckpunkt Nummer 1 gleich groß wie der beim Eckpunkt Nummer 2 sein.
B3 ist die zu B1 inverse Gleitspiegelung und B2 die 180°-Drehung um dem hyperbolischen Mittelpunkt
der Seite 2. Zu den Eckpunkten mit den Nummern 3 und 2 gehören folgende Ketten-Schemata:


Sie führen beide zu der einzigen Ecken-Bedingung mit einer natürrlichen Zahl n > 2.
In den Bildern 2 bis 6 wurden die positiv orientierten Dreiecke grau und die negativ orientierten rot
dargestellt. Dadurch haben Dreiecke mit gemeinsamer Seite 2 die gleiche Farbe und es entsteht eine
Kachelung mit punktsymmetrischen Vierecken, die den Rauten der euklidischen Geometrie entsprechen.
Anders als in der euklidischen Geometrie ist hier die Summe benachbarter Innenwinkel nicht 180°,
sondern mit beliebigem natürlichen n > 2.

Hier ist die Signatur -3-2-1. Folglich sind B1 und B3 zueinander inverse Gleitspiegelungen und
B2 die Spiegelung an der Seite 2. Auch hier ist . Das Ketten-Schema zum Eckpunkt 3 ist
.
Darum erzeugt ein Basis-Dreieck genau dann eine Kachelung, wenn es eine natürliche Zahl n >1
gibt mit .

Die Animation zeigt die hyperbolische Translation der Vereinigung der Kränze Nummer 0 und 1 längs
der Rechtsachse. Die anschließende Gleitschau enthält Standbilder daraus. Das letzte Bild nach diesen
Standbildern zeigt eine farbliche Zusammenfassung der Kacheln mit dem gleichen Eckpunkt Nummer 1.
Dabei zeigt sich auch hier eine Kachelung mit hyperbolischen Rauten, wobei die Dreiecks-Seite
Nummer 2 eine Diagonale ist.