Es lebe die Geometrie!

Winkelhalbierende im 6-Rechteck

-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum I'
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_I.pdf

-->'Geraden und Gewinde im dreidimensionalen projektiv-metrischen Raum II'
https://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Geraden_und_Gewinde_II.pdf

Das Problem, zu einem 6-Rechteck ABCDEF eine Raumgerade zu bestimmen, die einer Winkelhalbierenden
in einem Dreieck der euklidischen Ebene entspricht, unterscheidet sich nicht von dem analogen Problem zu
einer Mittelsenkrechten. Auf der Seite ' Höhen im 6-Rechteck' wurde dargestellt, wie man eine Raumgerade mit Hilfe
eines Tripels dualer
Zahlen beschreiben kann, wobei in Berechnungen für stets Null eingesetzt wird. Die reellen Zahlen
werden auch 'Plücker-Koordinaten' genannt. m ist dabei d-normierbar, man kann also
durch die Dualzahl oder die Wurzel daraus teilen.
Denn dies gilt genau dann, wenn die Länge des Richtungs-Vektors der Geraden
ungleich Null ist, was für alle Geraden des dreidimensionalen affinen Raums zutrifft.

Die Tatsache, dass geometrische Sätze über das dreidimensionale 6-Rechteck den gleichen Wortlaut haben,
wie Sätze der zweidimensionalen Dreiecks-Geometrie, ist dadurch begründet, dass das Dualzahl-Tripel m
sowohl eine Gerade, als auch einen Punkt der projektiven Ebene mit Dualzahlen als Koordinaten beschreibt.
Man unterscheidet dann ein Geraden-Tripel von einem Punkt-Tripel durch eckige statt runder Klammern.
Wenn für Dualzahl-Tripel Maß-Beziehungen wie Streckenlängen oder Winkel-Größen durch das innere
Produkt bestimmt werden, nennt man die projektive Ebene 'elliptisch'. Die Geometrie der Raumgeraden
stellt darum ein Modell der elliptischen Ebene mit Dualzahlen als Koordinaten dar. Eine Darstellung der
elliptischen Ebene über diese und allgemeinere Koordinaten findet man in dem Text 'Plane elliptic geometry
over rings' von Frieder Knüppel und Edzard Salow ( https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102701007).

In einer elliptischen Ebene gilt mit jedem wahren Satz auch der, welcher durch Austausch der Begriffe 'Punkt'
und 'Gerade' entsteht. Diese Dualität zwischen Punkten und Geraden zeigt sich deutlich im Kugel-Modell der
elliptischen Ebene mit reellen Zahlen als Koordinaten. Einem Punkt-Tripel wird das Antipoden-
Paar der Schnittpunkte der Einheitskugel mit der Ursprungsgeraden in Richtung des Vektors x zugeordnet.
Dieses Punkte-Paar wird in Sätzen der elliptischen Geometrie als "Punkt" bezeichnet, wobei die Anführungs-
Zeichen in der Regel weggelassen werden. Dem Geraden-Tripel wird der Großkreis zugeordnet,
der sich als Schnitt der Einheitskugel mit der Ursprungs-Ebene senkrecht zum Vektor x ergibt. Dieser Großkreis
wird dann "Gerade" genannt. Strecken-Längen und Winkel-Größen sind hier beides Bogen-Längen. Darum
ergeben sich in dieser Varianten der sphärischen Geometrie aus Mittelsenkrechten Winkelhalbierende, wenn
man die Begriffe "Punkt" und "Gerade" austauscht.

Das Kugel-Modell der elliptischen Ebene hat den Vorteil, dass man den algebraisch gleichartigen Objekten
und verschieden geometrische Objekte zuordnen kann, nämlich Antipoden-Paare
und Großkreise. Dieser Vorteil entfällt im Raumgeraden-Modell der elliptischen Ebene über Dualzahlen.
Wir behelfen uns damit, dass wir eine Raumgerade je nach Bedarf als 'punkt-analog' oder 'geraden-analog'
bezeichnen. Beim 6-Rechteck ABCDEF betrachten wir wie in den vorhergehenden Seiten die Geraden
AB, CD und EF als punkt-analog und die Geraden BC, DE und FA als geraden-analog, passend zum
Analogie-Dreieck im Bild unten rechts.

In den vier Phasen dieser Animation werden die vier Winkelhalbierenden-Achsen des 6-Rechtecks
ABCDEF gezeigt. Sie entsprechen den Zentren der Ankreise und des Inkreises im euklidischen
Analogie-Dreiecks unten rechts. Das jeweils erste Bild einer Phase enthält Strecken- und Winkel-
Maße, die verschwinden, wenn die Konstruktion anschließen um 360° gedreht wird. Das Kugel-
Modell oben links ist das Modell der elliptischen Ebene, die sich ergibt, wenn man die Dualzahlen
der Tripel zur Beschreibung der Raumgeraden auf ihren Realteil reduziert, also durch Null ersetzt.

Die grau berandete gelbe Achse der ersten Phase ist die gemeinsame Lotgerade der drei hellrot,
hellgrün und hellblau gezeichneten Winkelhalbierenden von ABCDEF , die senkrecht durch die
Mitten der gleichfarbigen punkt-analogen Kanten von ABCDEF verlaufen. Ihre Richtung wird
entsprechend wie bei den Mittelsenkrechten der vorangehenden Seite bestimmt. Auch hier sind
die Vektoren AB, CD und EF umlauf-orientiert. Die Vektoren AB, CD und EF folgen also der
Richtung eines Umlaufs um ABCDEF. BC hat die Richtung von , DE die von
und FA die von . Alle diese Richtungs-Vektoren haben die Länge 1. Im Vergleich zur
Berechnung der Mittelsenkrechten auf der vorangehenden Seite bilden wir auch hier die Differenz
zweier Dualzahl-Tripel zu überspringenden Kanten, verrücken aber die Kanten um eine Position. Die
Winkelhalbierende zur Kante AB ist also die Differenz der Dualzahl-Tripel der Kanten FA und BC .
Entsprechendes gilt für CD und EF . Wenn s bzw. u bzw. w das Dualzahl-Tripel von BC bzw.
DE bzw. FA bedeutet, dann ist das Dualzahl-Tripel der gelben Achse g der
drei Winkelhalbierenden zu AB, CD und EF. Es ist im Allgemeinen nicht d-normiert. Die grauen
Strecken der Mitten-Kreuze von AB, CD und EF zeigen die Richtungen der Winkelhalbierenden an.

Das dunkelrot, dunkelgrün bzw. dunkelblau gezeichneten gemeinsame Lot der Achse g mit der
Kantengeraden zu DE , BC bzw. FA trifft zwar ebenfalls die Mitte der Kante beim Kreuz, aber im
Allgemeinen nicht dessen Richtung. Dafür sind aber die Maße bestehend aus einer Streckenlänge
und einer Winkelgröße gleich. Dies entspricht der Tatsache, dass der Inkreismittelpunkt des
Analogie-Dreiecks von den drei Seiten den gleichen Abstand hat.

In der zweiten, dritten bzw. vierten Phase wird die Winkelhalbierenden-Achse gezeigt, die dem
Ankreis-Mittelpunkt entspricht, der im Analogie-Dreieck dem blauen, grünen bzw. roten Eckpunkt
gegenüberliegt. Sie ergeben sich dadurch, dass man die Orientierung der Kantengerade zu AB, CD
bzw. EF umdreht. Dies wird in der Angabe der Eckpunkte des 6-Rechtecks im Bild oben rechts
dadurch markiert, dass jeweils ein Plus-Zeichen gegen ein Minus-Zeichen ausgetauscht wird. Die
Dualzahl-Tripel von BC bzw. DE bzw. FA werden also durch -s bzw. -u bzw. -w ersetzt, so dass
sich das Dualzahl-Tripel der Winkelhalbierenden-Achse in bzw.
bzw. ändert.

Jede dieser drei Winkelhalbierenden-Achsen, die zu den Ankreis-Mittelpunkten analog sind, ist
gemeinsame Lot-Gerade dreier Winkelhalbierenden, die in Lage und Richtung durch Mitten-Kreuze
zu AB, CD und EF bestimmt sind. Die Lage und Richtung dieser Mitten-Kreuze stimmt mit der bei
der Winkelhalbierenden-Achse überein, die dem Inkreis-Mittelpunkt entspricht. Aber nur bei dem
Mitten-Kreuz zur blauen bzw. grünen bzw. roten Kante wurde die grau-schwarze Färbung nicht
vertauscht. Bei den andern beiden Kreuzen ist also die Richtung der Winkelhalbierenden um 90°
gedreht.

Die gemeinsamen Lote der drei Winkelhalbierenden-Achsen mit den Geraden zu BC, DE bzw. FA
treffen hier nur die Mitte der Kante in der gleichen Farbe wie beim Rand der Achse. Die Lotfußpunkte
auf den anderen beiden Kanten ergeben sich durch Spiegelung der Kanten-Mitten an den grünen bzw.
roten bzw. blauen Eckpunkten.

In dem Kugel-Modell links oben im Bild sind für jede Winkelhalbierenden-Achse die beiden Kreise
braun eingezeichnet, die den Ankreisen bzw. dem Inkreis im Analogie-Dreieck entsprechen. Ihre
Ebenen sind parallel zur Ebene des gelben Großkreises, der zur Achse gehört, und haben den gleichen
Abstand dazu. Die Spitze des Normalenvektors jedes Großkreises, der zu der dunkelgrünen, dunkelroten
oder dunkelblauen Seite von ABCDEF gehört, liegt auf einem der beiden braunen Kreise.

Entsprechend wie auf der vorhergehenden Seite zu Mittelsenkrechten von ABCDEF wird in
dieser Animation gezeigt, dass die Raumgeraden zu überspringenden Kanten des 6-Rechtecks
durch eine Schraubung mit der gleichen Achse ineinander übergeführt werden können. Hier
sind diese Kanten aber geraden-analog statt punkt-analog. In vier Phasen werden diese
Schraubungen für die vier Winkelhalbierenden-Achse hin und zurück durchlaufen. Die
angezeigten Maße zeigen bei diesem 6-Rechteck mit unterschiedlich langen Kanten
bemerkenswerte Zusammenhänge.

Die drei Winkelhalbierenden-Achsen, die zu den Ankreis-Mittelpunkten analog sind, bestimmen ein
6-Rechteck A*B*C*D*E*F*, das dem Dreieck aus diesen Mittelpunkten entspricht. Es wird hier mit
einer gelben Mittellinie dargestellt. Die grau berandete gelbe Strecke ist analog zum Inkreis-Mittelpunkt.
Dazu gehört die grau-schwarze Färbung der Mitten-Kreuze.

In der ersten von vier Phasen wird ein 6-Rechteck ABCDEF mit gleich langen Kanten um 360° gedreht,
in der zweiten wird der Winkel zwischen den Dreiecken ACE und ABC geändert bis zu einem 6-Rechteck
mit unterschiedlich langen Kanten. Dieses wird in Phase 3 um 360° gedreht. In Phase 4 wird Phase 2
rückwärts durchlaufen. Zum Teil sind Maßzahlen angezeigt.

Das 6-Rechteck A*B*C*D*E*F* ist vollständig durch die schwarzen Strecken der Mitten-Kreuze von
AB, CD und EF festgelegt. Die grauberandete gelbe Strecke gibt die Höhe-Achse dazu an, entsprechend
dazu, dass im Analogie-Dreieck der Inkreis-Mittelpunkt Schnittpunkt der Höhen des Dreiecks der
Ankreis-Mittelpunkte ist.