Es lebe die Geometrie!

Mittelsenkrechte im 6-Rechteck

Wir gehen wie auf der vorhergehenden Seite von einem 6-Rechteck ABCDEF aus, bei dem wir die Kanten
AB, CD und EF den Eckpunkte des Analogie-Dreiecks in den Bildern unten rechts zuordnen und die Kanten
BC, DE und FA den Dreiecks-Seiten. Der erste Punkt in diesen Paaren bestimmt dabei stets die benutzte
Farbe. Anders als auf der vorigen Seite versehen wir die Kanten-Geraden mit einer Orientierung, die in der
anschließenden Animation durch Pfeile markiert ist. Dabei folgen die Vektoren AB, CD und EF der Richtung
eines Umlaufs um ABCDEF. BC hat die Richtung von , DE die von und FA die von
. Alle diese Richtungs-Vektoren haben die Länge 1. Wir nennen diese Orientierung 'Umlauf-
Orientierung von AB, CD und EF '. Dabei wird also für drei überspringende Kanten die Orientierung durch
die Reihenfolge der Buchstaben bestimmt und für die übersprungenen Kanten durch das Kreuz-Produkt der
anschließenden Kanten.

In Analogie zur Mittelsenkrechten im Dreieck muss die Mittelsenkrechte z. B. der Seite DE diese Kante in
ihrem Mittelpunkt orthgonal kreuzen. Unter die vielen Möglichkeiten, die es dafür gibt, wählen wir eine aus,
für welche die Mittelsenkrechten ähnliche Eigenschaften haben wie im Dreieck. Als Richtungs-Vektor der
Mittelsenkrechten zur Kante DE nehmen wir die zur Länge 1 normierte Differenz der Richtungs-Vektoren von
CD und EF. Die Normierung erreicht man durch Division des Differenz-Vektors durch seine Länge n . Das
Tripel-Paar der Mittelsenkrechten ergibt sich entsprechend, indem man die Differenz der Tripel-Paare der
Kantengeraden von CD und EF durch n dividiert, also beide Tripel der Differenz durch n teilt. Die
Mittelsenkrechte trifft die Seite DE in ihrer Mitte. Es zeigt sich, dass die drei Mittelsenkrechten ein
gemeinsames Lot haben. Wir nennen sie 'Mittelsenkrechten-Achse'.

Die Animation zeigt die Mittelsenkrechten des 6-Rechtecks ABCDEF in Umlauf-Orientierung
zusammen mit der magenta-farbenen Achse, die in dem Analogie-Dreieck unten rechts dem Umkreis-
Mittelpunkt entspricht. Der Augenpunkt der Zentralprojektion wird dabei in Phase 1 einmal um die
z-Achse gedreht, dann in Phase 2 um den Ursprung gedreht, bis er auf der z-Achse liegt, und in Phase 3
auf dem gleichen Weg zurückgeführt.

In Phase 1 sind nur die Mittelpunkte der Kanten BC, DE und FA durch ein Mittenkreuz markiert, in
Phase 2 und 3 auch die übrigen Kanten. Die graue Strecke gibt dabei die Richtung der oben genannten
Differenz-Vektoren an, die also bei BC, DE und FA die Richtung der Mittelsenkrechten bestimmen.
In Phase 2 und 3 sind die gemeinsamen Lote der Seiten AB, CD bzw. EF mit der magenta-farbenen
Mittelsenkrechten-Achse eingezeichnet. Man erkennt, dass hier diese Lote zwar ebenfalls die Kanten-
Mitten treffen, aber die beiden Richtungen der Mitten-Kreuze verfehlen. Die folgende Animation zeigt,
dass auch die Mitte verfehlt wird, wenn die Kanten des 6-Rechtecks nicht mehr alle gleich lang sind.

In den Phasen 2 und 3 sind in der Zeichnung zu den Kanten AB, CD und EF ihre Abstände von der
Mittelsenrechten-Achse angezeigt. Diese sind alle drei gleich, entsprechend wie beim Analogie-Dreieck.
Für jede Kante ist darüber hinaus der Winkel zwischen dem Richtungs-Vektoren der Kante und dem der
magentafarbenen Achse gleich, nämlich 78°.

Im Kugelbild oben links ist die Achse durch das magentafarbene Antipoden-Paar repräsentiert, das
zu den Schnittpunkten der drei Großkreise gehört, die den Mittelsenkrechten der Kanten BC, DE und
FA entsprechen. Diese schneiden die dick gezeichneten Kreisbögen senkrecht in deren Mitte, die
den Kanten des Analogie-Dreiecks entsprechen. Der magentafarbene Großkreis liegt in einer Ebene,
die orthogonal zu der Verbindungsgeraden der beiden magentafarbenen Punkte ist. Der hellgrüne
Kreis liegt in einer dazu parallelen Ebene und trifft jeweils einen Punkt der Antipoden-Paare, die zu
den Kanten AB, CD und EF gehören.

Am Ende der vorhergehenden Seite wurde eine Formel zur Berechnung der Höhen-Achse im
6-Rechteck ABCDEF angegeben. Für die Mittelsenkrechten-Achse ist die entsprechende Formel
. Dabei ist m im Allgemeinen noch nicht d-normiert. Allerdings
bedeutet s bzw. u bzw. w hier nicht das Dualzahl-Tripel von BC bzw. DE bzw. FA sondern das von
den Kanten AB bzw. CD bzw. EF , die im Analogie-Dreieck unten rechts den Eckpunkten zugeordnet
sind. Wenn s bzw. u bzw. w das Dualzahl-Tripel von der Kante BC bzw. DE bzw. FA ist, ergibt


den Term der Mittelsenkrechten-Achse. Er ist ebenfalls nicht d-normiert. Bei beiden Termen ist darauf zu
achten, dass s, u und. w in d-normierter Form vorliegen.

Hier wird der Winkel zwischen dem Dreieck ABC und dem Basis-Dreieck ACE im Intervall
variiert. Bis zum Winkel
haben alle Kanten von ABCDEF die Länge 1, danach wird
EF länger und FA kürzer und der Fußpunkt des gemeinsamen Lots der Kanten AB, CD und EF
mit der magentafarbenen Achse rückt von der Kanten-Mitte ab.

Die Mittelsenkrechten-Achse des 6-Rechtecks ABCDEF hat von den drei Kanten AB, CD und EF
den gleichen Abstand und schließt mit den Richtungs-Vektoren einen Winkel der gleichen Größe ein.
Darum gibt es zu jeder der drei Kanten eine Schraubung (Schrauben-Bewegung), welche die eine der
Kanten-Geraden in eine andere überführt. Die Schraubung ist eine Winkel- und Längen-Maß erhaltende
Abbildung, die sich als Überlagerung einer Drehung um die Achse und einer Verschiebung längs der
Achse ergibt.

In der Animation werden durch drei unterschiedliche Schraubungen längs der magentafarbenen Achse die
Kanten-Gerade AB in die Kanten-Gerade CD , diese in die Kanten-Gerade EF und diese in die Kanten-
Gerade AB abgebildet, und dann die Bewegung umgekehrt. Im Fall, dass alle Kanten von ABCDEF gleich
lang sind, werden nicht nur die Kanten-Geraden aufeinander abgebildet, sondern auch die Kanten selbst.
Dieser Vorgang entspricht im Analogie-Dreieck den Drehungen der Eckpunkte des Dreiecks um den
Umkreis-Mittelpunkt.

Zur Berechnung des Abstands und des Winkels zwischen Raumgeraden:

Gegeben seien zwei nicht komplanare Geraden g und h im dreidimensionalen euklidischen affinen
Raum mit den Tripel-Paaren s = (s;t) und u = (u;v). Die Vektoren s und u haben dabei die Läge 1.
Der Abstand d und die Größe des Winkels zwischen Richtungs-Vektoren von g und h kann dann
aus dem auf Tripel-Paare erweiterten innerem Produkt berechnet werden,
wobei gilt. Es ist nämlich und .
Für die Mittelsenkrechten-Achse der Animation bedeutet dies, dass das erweiterte innere Produkt
des Tripel-Paars der Achse und dem der Kanten-Gerade AB mit dem entsprechenden inneren Produkt
zu CD und EF übereinstimmt, wenn man bei jeder der Geraden einen der beiden möglichen
Richtungs-Vektoren der Länge 1 geeignet auswählt.

Wenn s und u wie auf der Seite ' Höhen im 6-Rechteck' beschrieben als Tripel dualer Zahlen angegeben
werden, wird zu der dualen Zahl . Falls f eine differenzierbare reellwertige
Funktion von der Menge der reellen Zahlen in sich ist, erweitert man diese Funktion auf die Menge
der dualen Zahlen durch die Definition . Für f = cos folgt
.