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Brunn 2

Geometrie 2 > Addition von Figuren

Der Satz von Brunn-Minkowski 2

Wir stellen auf dieser Seite einen Beweis des Satzes von Brunn-Minkowski dar, der nicht auf
Drehpunktfunktionen, sondern auf einer Polygon-Ergänzung und -Zerlegung beruht, die auf
Georg Frobenius (1849-1917) zurückgeht.


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Die Animation zeigt die Addition zweier gleichseitiger Dreiecke F und G, wobei G gedreht wird.
F, G und die Summe H sind in homothetische rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke , und
eingeschlossen, auf deren Seiten mindestens ein Punkt von F, G bzw. H liegt. Die Fläche zwischen
diesen umschließenden Dreiecken und F, G und H sind in farbig markierte Dreiecke , und
mit folgenden Eigenschaften zerlegt :

n sei die Anzahl der Richtungen, die bei den Seiten-Pfeilen von F und G vorkommen. Sie seien in eine
zyklische Ordnung gebracht und mit i von 1 bis n durchnummeriert. Die Richtungen sind die gleichen,
welche auch bei den Seiten-Pfeilen der Summe H vorkommen. Nur einige kommen jedoch sowohl bei
F, als auch bei G vor. Dann stellt man sich vor, dass zu F und G Seiten mit der Länge Null hinzugefügt
werden, so dass alle n Richtungen auch bei den Seiten von F und G vorkommen. Und zwar sollen sie so
eingefügt werden, dass die Reihenfolge der Richtungen der Reihenfolge der Seiten bei einem Umlauf
entspricht. Das Dreieck hat als Grundseite die Strecke zwischen dem Anfangspunkt des Seitenpfeils
zur Richtung Nummer i und dem Punkt des Randes von , der in der Verlängerung dieses Pfeils liegt.
Diese Grundseiten zerlegen die Außenfläche zwischen F und in die n Dreiecke . Dabei ist im
Allgemeinen die Grundseite von auch Seite von , und ein Randstück von die dritte Seite. Nur
in den Ecken von kommt es vor, dass zwei Randstücke von das Dreieck abschließen. Es
ist möglich, dass alle drei Eckpunkte von zusammenfallen. Entsprechendes gilt auch für die Polygone
G und H. Die Dreiecke , und (mit der gleichen Nummer) sind homothetisch, sie sind also ähnlich
und entsprechende Seiten sind parallel. Aus folgt außerdem . Darum ist jede
Seitenlänge von die Summe der Längen entsprechender Seiten von und .

Der Beweis des Satzes von Brunn-Minkowski nach Georg Frobenius beruht auf der Homothetie der
Dreiecke , und , sowie der Dreiecke , und , und darauf dass und
gilt. Darum besteht ein einfacher Zusammenhang zwischen ihren Flächeninhalten. Diese
Flächeninhalte benennen wir mit den Bezeichnungen der Dreiecke in Betragsstrichen. Es gibt eine
Ähnlichkeitsabbildung mit dem nicht negativen Streckungsfaktor s, die in abbildet. Eine
Ähnlichkeitsabbildung mit dem Streckungsfaktor 1 + s bildet dann in ab. Darum ist
und , also .
Entsprechend gilt .

Der gemischte Flächeninhalt von und sei ebenfalls mit Betragsstrichen bezeichnet. Man errechnet
und Analoges
für die Dreiecke und .
Wegen , und ist
.

Sei wieder . Dann ist

.
Darum ist



Wenn hier das Gleichheitszeichen gilt, muss sein für alle i. Dann sind sogar F und G
selbst homothetisch.


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