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Geometrie 2 > Addition von Figuren
Orthogonale Fourier-Polygone
Es seien n, m und p natürliche Zahlen mit n > 1 und n > m > 0. Für keine ganze Zahl k sei gleich
oder . Unter einem Fourier-Polygon verstehen wir ein Polygon zu der Drehpunktfunktion
oder
oder
Polygone, die daraus durch eine Drehung entstehen. Im Fall m = 0 wird für einen Summanden
der Nenner Null. Wir denken uns dann diesen Summanden bei FS durch den Term ersetzt
und bei FC durch Null. Die zu FS und FC gehörigen Drehpunktkurven PS(n,m,p) und PC(n,m,p) sind
Polygone, weil die Funktionen FS und FS Treppen-Funktionen mit nur endlich vielen Stufenhöhen sind.
Pf, Pg und Ph seien Polygone zu den Drehpunktfunktionen f, g und h = f + g. Ph ist also die Summe von
Pf und Pg. Pf und Pg heißen 'orthogonal', wenn sowohl die Summe der Umfangslängen L(f) + L(g) als
auch die Summe der eingeschlossenen Flächen A(f) + A(g) gleich der Umfangslänge L(h) bzw. A(h) ist.
Dies ist genau dann der Fall, wenn der 'Mix-Inhalt' Null ist.
Pf und Pg heißen 'total orthogonal', wenn gleich Null ist. Dann sind alle Polygone,
die aus Pg durch eine genügend kleine Drehung entstehen, zu Pf orthogonal. Dies gilt für ein ganzes
Intervall von Drehwinkeln. Man erkennt die totale Orthogonalität daran, dass in dem schwarzen
Mix-Streckenzug in den folgenden Bildern unten rechts der rote Endpunkt mit dem grünen Startpunkt
zusammenfällt.
Für und mit j , k > 1 gilt genau dann A(f ; g) = 0 , wenn j ungleich k
ist. Für verschiedene j und k ist sogar . Dies gilt auch, wenn man bei g die
Sinus-Funktion durch die Kosinus-Funktion ersetzt. Die Polygone und sind
darum total orthogonal, wenn die beidseitig ins Unendliche gehenden Folgen und
kein Folgenglied gemeinsam haben. Dies ist genau dann der Fall, wenn für den
größten gemeinsamen Teiler t von n und gilt:
Es gibt keine ganze Zahl z mit .
Die auf der Seite ' Fourier-Polygone 3' gezeigten Polygone PS(n,m,p) und PC(n,m,p) (mit gleichen Zahlen
n, m und p) sind stets orthogonal, aber nie total orthogonal. Auf der vorliegenden Seite werden in jeder
Gleitschau mit Ausnahme der letzten Beispiele nur total orthogonale Fourier-Polygone gezeigt.
Die letzte Gleitschau zeigt Gegenbeispiele.
Die ersten 18 Bilder der Gleitschau zeigen die sukzessive Bestimmung des Inhalts der
eingeschlossenen Fläche zu den Drehpunktkurven von ,
und der Summe . Die Graphen dieser
Funktionen sind am oberen Rand dargestellt. Der graue Graph mit den Mittelpunkten der Stufen
gehört zu der Funktion oder entsteht dadurch, dass dieser Graph in Richtung der
Rechtsachse verschoben wird. Im 18. Bild ist der Mix-Streckenzug hinzugefügt, an dem man die totale
Orthogonalität erkennt, weil der rote Endpunkt mit dem grünen Startpunkt zusammenfällt. Die Bilder
19 bis 22 zeigen die ersten vier Stufen der Fourier-Approximation zu Pf, Pg und Ph. Die nächsten
20 Bilder entsprechen den Bildern 1 bis 18 mit einem um 45° gedrehten Polygon Pg. Dazu zeigen die
folgenden drei Bilder Fourier-Annäherungen. In den anschließenden sechs Bildern wird die Polygon-
Addition für andere Drehwinkel gezeigt.
Diese Gleitschau zeigt orthogonale Fourier-Polygone, die 4-geschlossen sind, für welche die
Drehpunktfunktion also den Definitionsbereich hat.
Diese orthogonalen Fourier-Polygone sind 3-geschlossen.
Diese orthogonalen Fourier-Polygone sind 2-gechlossen.
Diese orthogonalen Fourier-Polygone sind 1-geschlossen.
Diese Fourier-Polygone sind nicht total orthogonal, zumeist auch nicht orthogonal.
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