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orthogonale Figuren 2

Geometrie 2 > Addition von Figuren

Orthogonale reguläre Polygone

Unter einem regulären Polygon ( oder regelmäßiges Vieleck) verstehen wir ein n-Eck, bei dem für
jede Seite einer der beiden Richtungswinkel der zugehörigen Seitengeraden ausgezeichnet ist, so dass
folgende Eigenschaften gelten:
1. Der Betrag aller Seitenlängen ist gleich groß.
2. Die Differenz der Richtungswinkel ist für alle Paare (bei
einem Umlauf) aufeinander folgender Seiten gleich groß.

Bei einer Umlaufrichtung nehmen die Richtungswinkel der Seiten eines regulären Polygons zu
und bei der anderen ab. Wenn man die Richtung mit wachsenden Richtungswinkel wählt, werden
bei allen Seiten, die man gegen ihre Richtung durchläuft, mit einem Minus-Zeichen versehen, die
andern mit einem Plus-Zeichen.

In der folgenden Gleitschau werden zwei Quadrate mit dem Seitenlängen-Betrag 2 betrachtet.
Bei einem der Quadrate, das wir mit Q+ bezeichnen, wachsen die Richtungswinkel bei einem Umlauf
gegen den Uhrzeigersinn; dann sind die signierten Seitenlängen alle +2. Bei einem anderen Quadrat, Q-
genannt, wachsen sie bei einem Umlauf im Uhrzeigersinn; dann ist die Folge der signierten Seitenlängen
+2 ; -2 ; +2 ; -2.

Unter einem Polygon mit alternierenden Seitenlängen verstehen wir ein regelmäßiges Vieleck,
dessen Seitenlängen abwechselnd mit einem Plus- und einem Minus-Zeichen versehen sind.
Damit dies möglich ist, muss die Eckenzahl gerade sein. Da die Beträge aller Seitenlängen
gleich sind, ist die Umfangslänge gleich Null. Eine Drehpunktfunktion, deren Drehpunktkurve
ein derartiges Polygon darstellt, ist eine Treppenfunktion mit nur zwei Stufenhöhen. Ein
Prototyp ist für m größer als 1 die Fourier-Reihe
,
die bis auf die Sprungstellen mit der Funktion übereinstimmt.
Diese Funktion springt bei den Vielfachen des Richtungswinkels zwischen den
Werten +1 und -1 hin und her. Die zugehörige Drehpunktkurve stellt die Fourier-Polygone
FS(2m ; m ; 1) dar, die auf der Seite ' Fourier-Polygone 2 ' untersucht werden.

Die Darstellung als Fourier-Reihe ist deshalb wichtig, weil daran erkennbar wird, ob zwei dieser
Polygone orthogonal zueinander sind. Den Begriff 'orthogonal' benutzen wir dabei in dem auf der
vorherigen Seite ' Orthogonale Figuren 1 ' erklärten Sinn.


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In den Bilden 1 bis 8 der Gleitschau werden die Quadrate Q+ und Q- addiert, die um 45° gegeneinander
gedreht sind, in den Bildern 9 bis 16 zwei Exemplare von Q- und in den Bildern 17 bis 24 zwei Exemplare
von Q+. Die Quadrate wurden mit Hilfe von Drehpunktfunktionen f und g erzeugt, deren Graphen rot für
das Quadrat links oben und grün für das Quadrat rechts oben angegeben sind. Die blau gezeichnete Summe
der Quadrate gehört zu der Drehpunktfunktion h = f + g. Die Richtungswinkel der Seiten werden durch die
weiß oder grau gefüllten Pfeile angegeben; grau sind sie, wenn die Seitenlänge negativ ist.

Jeweils acht Bilder zeigen die sukzessive Berechnung der Polygonflächen A(f), A(g) und A(h) mit Hilfe aller
Flächeninhalten von Dreiecken, die vom weiß gefüllten Basispunkt und dem roten, grünen bzw. blauen
Pfeil aufgespannt werden, der die Polygonseiten durchläuft. Dabei gehen diese Dreiecksinhalte mit einem
Minus-Zeichen in die Berechnung ein, wenn die zugehörige Polygon-Seite eine negative Länge hat und der
Basispunkt links von der orientierten Seite liegt oder die Seite eine positive Länge hat und der Basispunkt
rechts von der Seite liegt. Es zeigt sich:
Bei der Addition von Q+ und Q- und auch bei der von zwei gegeneinbander um 45° gedrehten Exemplaren
Q- ist A(f) + A(g) = A(f + g). Diese Quadrate sind also nach unserer Definition 'orthogonal', da sich beim
blaue Summen-Polygon nicht nur die Umfangslängen L(f) und L(g) addieren, sondern auch die Flächeninhalte.
Anders ist dies bei der Addition zweier Exemplare von Q+. Hier gilt auch L(f) + L(g) = L(f + g) wie bei allen
geschlossenen Drehpunktkurven, aber die Summe von A(f) und A(g) ist kleiner als A(f + g). Der gemischte
Flächeninhalt ist deshalb ungleich Null, anders als bei den
orthogonalen Quadraten.


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Die Animation zeigt die gleichen Quadrate wie die der vorhergehenden Gleitschau mit unterschiedlichen
Drehwinkeln beim grünen Quadrat. Es zeigt sich, dass Q+ und Q- für unendlich viele Drehwinkel orthogonal
sind, die beiden Exemplare von Q- nur beim Drehwinkel 45°. Die beiden Exemplare von Q+ sind bei keinem
Drehwinkel orthogonal.

Um dies zu verstehen, ist es sinnvoll, die Darstellung der Drehpunktfunktionen als Fourier-Reihen zu
betrachten. Siehe dazu auch die Seite ' Fourier-Polygone 1':

Eine Drehpunktfunktion von Q+ mit zwei Seiten parallel zur Rechtsachse kann durch
beschrieben werden.
Bis auf die Sprungstellen stimmt diese Funktion überein mit
.
Eine Drehpunktfunktion von Q- ebenfalls mit zwei Seiten parallel zur Rechtsachse ist
.
Sie stimmt bis auf die Sprungstellen und die Ränder des Definitionsintervalls überein mit
.
Wenn die Quadrate um den Winkel gedreht werden, muss hier durch ersetzt werden.

In der vorhergehenden Seite ' Orthogonale Figuren 1' wird erklärt, dass die Drehpunktkurven zu den
Drehpunktfunktionen f und g genau dann orthogonal sind, wenn

gleich Null ist. Für und mit j , k > 1 gilt genau dann A(f ; g) = 0 ,
wenn j ungleich k ist. Für j = k gilt . Für ist A(f ; g) = 0 für alle
j , k >1 , auch für j = k. Im Fall ist A(f ; g) = 0 für alle k > 1 sowohl für ,
als auch für . Der Kreis ist darum orthogonal zu jeder Drehpunktkurve, deren
Drehpunktfunktion eine Linearkombination dieser Sinus- oder Kosinus-Terme ist.

Aus den Additionstheoremen für die Sinus- und die Kosinus-Funktion ergibt sich:
Sei j ungleich k, oder und . Dann ist A(f ; h) = 0.

Wegen der Linearität des Integrals im Integrator (und im Integranden) ist A(f ; g) eine Bilinearform.
Es ist also
.
Wenn die Fourierreihen der Drehpunktfunktionen bekannt sind, muss man zur Untersuchung der
Orthogonalität lediglich die Vorzahlen von in den Sinus- und Kosinus-Termen untersuchen.
Für das Quadrat Q+ bzw. Q- sind dies die Zahlen der arithmetischen Folge 4 ; 8 ; 12; ... bzw.
2 , 6 ; 10 ; .... Da diese Folgen kein Folgenglied gemeinsam haben und der Kreis orthogonal zu
jeder Drehpunktkurve aus Sinus und Kosinus-Termen ist, ist folglich Q+ orthogonal zu Q- bei
unendlich vielen Drehwinkeln von Q-. Dagegen ist Q- nur dann zu einem weiteren Exemplar von Q-
orthogonal, wenn die Quadrate um 45° gegeneinander gedreht sind. Q+ kann zu keinem weiteren
Exemplar von Q+ orthogonal sein, weil für gilt: .

Der schwarz gezeichnete Streckenzug unten rechts hängt mit dem gemischten Flächeninhalt
zusammen und wird deshalb als Mix-Streckenzug bezeichnet. f und g seien Drehpunktfunktionen
zweier Polygone. Dies sind dann Treppenfunktionen mit nur endlich vielen Funktionswerten. Darum
ist die endliche Summe aller Summanden s, für die gilt:
Es gibt eine Sprungstelle von g und eine Sprungstelle von f mit , so dass s das
Produkt aus und den signierten Sprunghöhen bei und ist. Statt der Bedingung kann
hierbei auch die Bedingung benutzt werden. Aus s erhält man eine Strecke des Mix-
Streckenzugs, indem man in diesem Produkt von s den Faktor durch den Vektor
ersetzt. Alle entstehenden Vektoren werden so hintereinandergesetzt, dass
die Richtungswinkel von einem Vektor zum nächsten größer werden. Wenn der Streckenzug dann im
Koordinatenursprung startet, gilt der y-Wert des roten Endpunkts vom Streckenzug den Wert
an. Die Polygone sind folglich genau dann orthogonal, wenn die y-Werte vom Startpunkt und vom
Endpunkt des Mix-Streckenzugs übereinstimmen. Wenn Startpunkt und Endpunkt sogar zusammenfallen,
sind die Polygone auch dann noch orthogonal, wenn man sie gegeneinander verdreht, und zwar gilt dies
für ein ganzes Intervall von Drehwinkeln.

In einer Darstellung mit komplexen Zahlen ist der Vektor gegeben durch
. darum fallen Anfangs- und Endpunkt des Mix-Streckenzugs von
f und g genau genau dann zusammen, wenn gilt : . Wir nennen die zugehörigen
Polygone dann 'total orthogonal'.

Die Animation zeigt:
Wenn Q+ und Q- addiert werden, stimmen dabei der grüne Startpunkt und der rote Endpunkt des
Mix-Streckenzugs überein. Dies gilt jedoch nicht für die andern beiden Kombinationen der Quadrate.
Bei der Drehung kommt es aber für die Kombination Q- Q- wenigstens für einen Winkel zur
Übereinstimmung der y-Werte von Start- und Endpunkt. Bei der Kombination Q+ Q+ passiert das nie.


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In der Animation wird die Orthogonalität bei einem Quadrat und einem Sechseck untersucht. In der
ersten Periode wird das Quadrat Q+ zu einem regulären Sechseck mit der Überschlagungszahl 2 und
den Seitenlängen 2 ; -2 ; 2 ; -2 ; 2 ; -2 addiert. Das Sechseck ist also ein zweifach durchlaufenes Dreieck.
Am Schließen des Mix-Streckenzugs erkennt man, dass diese Polygone total orthogonal sind. Dies folgt
daraus, dass die arithmetischen Folgen 4 ; 8 ; 12 ;... und 3 ; 9 ; 15 ;.. kein gemeinsames Folgenglied haben.
Auch das Quadrat Q- und das gleiche Sechseck in der zweiten Periode der Animation sind total orthogonal,
denn auch die Folgen 2 ; 6 ; 10 ;... und 3 ; 9 ; 15 ;..haben kein gemeinsames Folgenglied. Anders ist es in
der dritten Periode, in der Q- zu einem regulären Sechseck addiert wird, bei dem alle Seiten eine positive
Länge, nämlich die Länge 2 haben. Hier sind die Polygone nur in einigen Ausrichtungen orthogonal. Darum
schließt sich der Mix-Streckenzug nicht. Der Grund dafür besteht darin, dass die Folgen 2 ; 6 ; 10 ;... und
6 ; 12 ; 18 ;.. gemeinsame Folgenglieder haben.


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Die Gleitschau zeigt die Bestimmung des signierten Flächeninhalts zweier regulärer Polygone
mit alternierenden Seitenlängen +2 und -2 und der Summe der beiden Polygone. Es handelt sich
um eine 8-Eck bzw. 10-Eck mit der Überschlagungszahl 3 bzw. 4. Wenn der rote, bzw. grüne
bzw.blaue Pfeil den Rand durchläuft und dabei der Inhalt des vom Pfeil und vom weiß gefüllten
Basispunkt aufgespannten Dreiecks aufaddiert wird, werden Flächenteile mehrfach überdeckt. Der
Index einer Teilfläche, das heißt die Anzahl der Überdeckungen, gibt an, mit welchem Faktor diese
Teilfläche in die Berechnung des signierten Flächeninhalts eingeht. Für das Innere des 8-Ecks
bzw. 10-Ecks ist der Index 3 bzw. 4. Die dunklere Färbung drückt dies aus.

Da der gemischte Flächeninhalt gleich Null ist, sind das rote und das grüne Polygon orthogonal.
Da beim schwarzen Mix-Streckenzug der grüne Startpunkt und der rote Endpunkt zusammenfallen,
sind die Polygone sogar total orthogonal. Der Grund dafür liegt darin, dass die Drehpunktfunktionen
durch die Fourier-Reihen und dargestellt werden
und die arithmetischen Folgen 4 ; 14 ; 22 ;... und 5 ; 15 ; 25 ;... keine gemeinsame Zahl haben.



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Die Gleitschau zeigt die Addition zweier regulärer Polygone, die zum Teil orthogonal sind,
zum Teil auch nicht. Die Drehpunktfunktionsterm der Polygone hat die Form
. Hier muss man sich einen
Summanden, für den der Nenner gleich Null wird, durch den Summanden ersetzt
denken. Für die grün berandeten Polygone oben rechts ist stets n = 2m. Bei den rot berandeten
Polygonen oben links ist in den ersten 16 Bildern m = 0 und in den folgenden 28 ebenfalls n = 2m.
Für m = 0 sind die Polygone grün gefüllt, da ihr signierter Flächeninhalt positiv ist; die Seitenlängen
sind ebenfalls alle positiv und alle gleich. Für n = 2m sind die Polygone magentafarben bis blau oder
schwarz gefüllt, da ihr Flächeninhalt negativ ist; die Seitenlängen sind alternierend +2 und -2.

Die Orthogonalität drückt sich in dem Mix-Streckenzug unten rechts aus. Genau dann wenn der
grüne Startpunkt mit dem roten Endpunkt zusammenfällt, sind die Polygone total orthogonal.
Dies erkennt man mit den Zahlen n und m der beiden Polygone daran, dass die zugehörigen
arithmetischen Folgen kein gemeinsames Folgenglied haben.


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