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Hyperboloid

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Einschaliges Hyperboloid

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Diese Animation zeigt das einschalige Hyperboloid zur Teilverhältnis-Konstanten tvk = 2, das entsteht,
wenn man die rauten-ähnlichen Vierecke zwischen den Regulus-Geraden ausfüllt, deren Konstruktion auf
der vorhergehenden Seite ' Ceva' erklärt wurde. Dabei wird die Vorderseite des Hyperboloids, die der
Sehstrahl zuerst trifft, in Blautönen gezeichnet und die Rückseite in Gelbtönen. Der Augenpunkt wird
zunächst in die z-Achse gedreht. In der Vogel-Perspektive fallen dann die Geraden
AB und DA sowie die
Geraden
BC und CD zusammen auf Tangenten des magentafarbenen Einheitskreises. Anschließend werden
die Projektionsbilder der Strecken
AB und BC zu einem Tangenten-Quadrat ergänzt. Der blau gezeichnete
Umkreis dieses Tangenten-Quadrats enthält 4n Schnittpunkte von Regulus-Geraden, wobei n = 8 die Anzahl
der Teilstrecken ist, in welche die Strecken
AB und BC bei der Konstruktion der Geraden aufgeteilt werden.
Beim folgenden Rückweg des Augenpunktes wird das Tangenten-Quadrat in zwei Vierecke auseinander
gezogen, die symmetrisch zur xy-Ebene liegen. Wir nennen diese Figur mit 12 Schnittpunkten
'Ergänzung des Basisvierecks'.


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Die Ergänzung des Basisvierecks
A = Hyp(0;0), B = Hyp(1;0), C = Hyp(1;1), D = Hyp(0;1) hat die
zusätzlichen Punkte Hyp(1;2 ), Hyp(2;2 ), Hyp(3;2 ), Hyp(1;3 ), Hyp(3;0 ), Hyp(2;1 ), Hyp(2;3 )
und Hyp(0;3 ). Die Gleitschau zeigt diese Paare (r ; s) der Hyperboloid-Koordinaten r und s. Die
Punkte, für die s kongruent r+1 modulo 4 gilt, liegen auf einer der blauen Kurven, die im Fall tvk = 2
Kreise sind. Für die Punkte mit r kongruent s+1 modulo 4 gilt dies ebenfalls. Wir nennen diese beiden
dick gezeichneten blauen Kurven 'Basis-Kegelschnitte'. Für alle Werte der Teilverhälttnis-Konstante tvk
sind sie Kegelschnitte, die sich hier nicht als ebene Schnitte eines Kegels sondern eines Hyperboloids
zeigen. In der Gleitschau werden neben tvk = 2 die Fälle tvk = 1,5; 1,1; 0,9; 0,5; 0,2; -0,2; -1,0
und -2,0 gezeigt.

Die neben tvk in der Gleitschau oben links angezeigte Zahl n gibt die Anzahl der Teilstrecken an, in welche
die Strecken des Basis-Vierecks
ABCD bei der Konstruktion der Regulus-Geraden unterteilt werden.
Mit wachsendem n treten neue Schnittpunkte auf weiteren blauen Kurven auf. Sie sind auch Schnittkurven
von Ebenen mit dem Hyperboloid, folglich Kegelschnitte. Sie bilden zusammen das von den beiden
Basis-Kegelschnitten erzeugte Kegelschnitt-Büschel, zu dem auch die magentafarbene Kurve gehört.
Wenn d und e die Quadrupel der Ebenen sind, in denen die Basis-Kegelschnitte liegen, dann gibt es zu
jeder dieser Kurven eine Zahl r, so dass das Quadrupel der zugehörigen Ebene ist.



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Wenn d und e die Quadrupel der Ebenen sind, in denen die Basis-Kegelschnitte liegen, dann gibt es also
zu jeder der blauen Kurven eine Zahl r, so dass das Quadrupel der zugehörigen Ebene ist.
Diese Gleitschau soll klären, wie man den Parameter r berechnet. Dazu sind an die Schnittpunkte der
magentafarbenen Kurve mit den Regulus-Geraden die Winkelgrößen in roter Schrift angeheftet, die sich
entsprechend der vorangehenden Seite ' Ceva' bei der Konstruktion der Regulus-Geraden ergeben. Für
die Teilverhältnis-Konstante tvk = 2 ist dies der halbe Mittelpunktwinkel zum Bogen auf dem Einheitskreis,
der beim Punkt
A beginnt. Zu den Schnittpunkten der Regulus-Geraden mit der Geraden BC ist der
Parameter r zugefügt, der zu dem blauen Kegelschnitt
k durch diesen Punkt gehört. Daneben steht die
Winkelgröße . Man kann als das Verhätnis ansehen, in dem die Ebene zu
k die der
Basis-Kegelschnitte teilt. Der Vergleich dieser Winkel mit den roten Winkelgrößen zeigt Übereinstimmung
für
k zwischen den Basis-Kegelschnitten, und sonst einen negativen Wert, der sich ergibt, wenn von der
zugehörigen roten Winkelgröße 180° abgezogen wird.


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Diese Animation zeigt Quadriken zur Teilverhältnis-Konstanten tvk im Bereich von 2 bis 0,3 in
verschiedenen Ansichten. Dabei hat die magentafarbene Schnittkurve mit den Regulus-Geraden 4n
Schnittpunkte, wobei n = 32. Zuerst wird tvk von 2 bis 0,3 verkleinert, dann der Augenpunkt bei
konstantem tvk-Wert in die Vogel-Perspektive gedreht, schließlich tvk auf den Wert 2 erhöht und
dann der Augenpunkt in seine Ausgangslage zurückgedreht. In einem zweiten Durchlauf wurden bei
n = 10 die blauen Kegelschnitte zugefügt.



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