Es lebe die Geometrie!

Geschwindigkeiten und Enveloppen

Die Punkte A und B auf der roten Ellipse mit den Halbachsen-Längen 1 und 0,5 sind Endpunkte einer
Sehne mit konstanter Länge, die an der Ellipse herumgeführt wird. Die Sehnengeraden AB berühren die
dunkelblaue Enveloppe (Hüllkurve) dieser Geraden. Der Berührpunkt ergibt sich aus den roten Vektoren
der Geschwindigkeiten von A und B bei dieser Bewegung. Dazu zerlegt man diese Vektoren in zwei
Komponenten parallel bzw. senkrecht zu AB. Die weiß gezeichnete Komponente parallel zu AB ist in
beiden Endpunkten gleich (d. h. gleich gerichtet und gleich lang), denn die Sehnenlänge ändert sich nicht.
Die Verbindungsgerade der Spitzen von den blau gezeichneten Vektor-Komponenten senkrecht zu AB
schneidet die Gerade AB im blauen Berührpunkt H der Hüllkurve. Wenn man bei festen Punkten A und B
die Längen der weißen Vektoren verändert, sie aber nicht verschieden lang macht, ändert sich die Lage
von H nicht. Denn dann ändern sich die Längen der roten Tangenten-Pfeile proportional zueinander, und
auch die blauen Normalen-Vektoren.

Die hellblaue Kurve ist die Spur des Pols C der Sehne AB , also der Schnittpunkt der Tangenten in A und
B. Der rot gezeichnete Fußpunkt des Lots von H auf AB hat von A den gleichen Abstand wie H von B.
Dieser Lotfußpunkt ergibt sich also durch Spiegelung von H an der Sehnenmitte. Der Pol kann allein mit
Hilfe der Tangenten-Richtungen in A und B bestimmt werden, damit auch der Lotfußpunkt und damit H.

Die Animation hat drei Perioden mit unterschiedlichen Sehnenlängen. Die Längen sind nacheinander 0,75;
0,975 und 1,03. Zu jedem Ellipsen-Punkt A wurde als zweiter Sehnenendpunkt B der Ellipsen-Punkt
im gewünschten Abstand von A gewählt, der in Bewegungsrichtung am nächsten liegt.

An den Punkt A wurden hier zwei Sehnen mit gleicher Länge angeheftet, deren Endpunkte B und B'
(weiß gefüllt) vor bzw. hinter A in Bewegungsrichtung liegen, und zwar möglichst nah bei A, falls es
mehr als zwei Sehnen zu A gibt. Die blau gezeichnete Sehne BB' bezeichnen wir als 'Ko-Sehne' zum
Sehnenpaar AB, AB'. Die blaue Kurve ist die Enveloppe der Ko-Sehnen. Der blaue Berührpunkt H
kann man auch hier mit Hilfe der Geschwindigkeits-Vektoren in den Sehnen-Endpunkten geometrisch als
Schnittpunkt der Ko-Sehnen-Geraden mit der Verbindungsgeraden von den Spitzen der Komponenten
bestimmen. Dabei ist zu bedenken, dass die weiß gezeichneten Vektor-Komponenten in Richtung der
Ko-Sehne im Allgemeinen nicht gleich lang sind, da sich die Ko-Sehnen-Länge ändert. Darum liegt der
Fußpunkt des Lots vom hellblauen Ko-Sehnen-Pol auf die Ko-Sehne im Allgemeinen nicht symmetrisch
zu H.

Die Sehen-Längen in den drei gezeigten Perioden sind 0,53; 0,837 und 0,927 bei einer Ellipse mit den
Halbachsen-Längen 1 und 0,5.

Die Punkte A und B werden hier auf unterschiedlichen Kurven geführt, nämlich A auf einem Einheitskreis
und B auf einer Durchmesser-Geraden. Die Sehne AB mit konstanter Länge simuliert hier also eine
Pleuel-Stange. Die zwei Perioden gehören zu den Sehnenlängen 1,41 und 1. Bei der Sehnenlänge 1
ist die Sehen-Enveloppe ein Hälfte einer Astroide.

Dieser Ablauf simuliert eine Doppelkurbel. Die Drehpunkte der beiden Kurbeln haben den
Abstand 0,6 und die Pleuelstange AB hat die Länge 1. In der ersten Periode sind beide
Kurbel-Radien gleich 1, in der zweiten 1 und 1,32.