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Verwandte 2

Geometrie 2 > Gleichdick

Verwandte des Steiner-Gleichdicks

Unter den Verwandten des Steiner-Gleichdicks verstehen wir die s-Kurven zu Drehpunktfunktionen der
Form , , wobei k eine ungerade ganze Zahl ungleich 1 und -1 ist und s
eine obere Schranke der Drehpunktfunkltion.


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Die Animation zeigt die 1-Kurve zur Drehpunktfunktion . Es ist ein Gleichdick
mit der Breite 2, weil f 1-periodisch ist mit für alle und der Mittelwert Null ist
(siehe die Seite Begründung). Wie beim Steiner-Gleichdick liegen die Mittelpunkte der Tangentenquadrate
auf dem Inkreis der Bogenmitten-Evolvente (Null_Kurve). Die Verbindungsgeraden gegenüberliegender
Berührpunkte dieser Quadrate sind Tangenten der Drehpunktkurve und schneiden sich senkrecht auf dem
Kreis durch die Bogenmitten. Die Eckpunkte des Quadrats liegen auf einer Kurve, die sich als Bahnkurve
einer Überlagerung zweier gleichförmiger Kreisbewegungen beschreiben lässt, bei der die eine
Winkelgeschgwindigkeit ein ganzzahliges Vielfaches der anderen ist.

Für das Gleichdick zur Drehpunktfunktion können diese Kurven in
folgender Weise in Abhängigkeit vom Richtungswinkel des Pfeils beschrieben werden:
1. Drehpunktkurve:



2. 1-Kurve:



3. Mitten der Tangentenquadrate:

Falls j geradzahlig ist :
Falls j ungeradzahlig ist :

4. Schnittpunkte der Verbindungsgeraden gegenüberliegender Berührpunkte:

Falls j geradzahlig ist :
Falls j ungeradzahlig ist :

5. Schnittpunkte der Tangenten in und :

Falls j geradzahlig ist :
Falls j ungeradzahlig ist :





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Diese Animation zeigt den Übergang von einem Steiner-Gleichdick zu einem Reuleaux-Dreieck.
Dazu wurde die Drehpunktfunktion des Reuleaux-Dreiecks in einer
Fourier-Reihe entwickelt. f stimmt nämlich bis auf die Sprungstellen überein mit den Werten der
Fourier-Reihe . An den Sprungstellen hat die Reihe
den Mittelwert der links- und rechtsseitigen Limites als Funktionswert, hier also Null. In den Perioden
der Animation werden von dieser Reihe die Summanden mit den k-Werten 0 ; 0 und 1 ; 0 , 1 und -1 ;
0 , 1 , -1 und 2 ; 0 , 1 , -1 , 2 , -2 , 3 und -3 , sowie die von -9 bis 10 und die von -100 bis 100
benutzt. Als s-Wert wurde das Maximum der jeweiligen Funktion gewählt.

Bemerkenswert ist, dass die Zappel-Bewegung des gelben Drehpunktes auf dem Pfeil sich
nicht in einer Zappel-Bewegung des roten Punktes der s-Kurve ausdrückt. Der Abstand
dieser beiden Punkte ist der Krümmungsradius des s-Kurve im roten Punkt. Seine zum Teil
heftige Veränderung ist an der roten Kurve optisch kaum erkennbar.


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