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rechtwinklige Dreiseite

Geometrie 1 > Kreise auf der Kugel

Kugelkreis-Dreiseite mit rechtem Winkel


Die Animation zeigt ein Dreiseit aus Kreisen a, b und c auf der Kugel mit dem Zentrum N(0 ; 0 ; 0)
und dem Radius 1. Der Nordpol liegt im Punkt (0 ; 0 ; 1), der Südpol im Punkt (0 ; 0; -1). Die
Kreise schneiden sich in jeweils zwei Punkten, von denen die Punkte
A, B und C auf der Vorderseite
liegen und
A*, B* und C* auf der Rückseite. Die Verbindungsgeraden AA*, BB* und CC* gehen
durch den gelb markierten Punkt Z. Die Kreise
a und b schneiden sich bei jeder Lage von Z euklidisch
rechtwinklig in
C und C*.

Die Tangentialebene im Nordpol wird durch eine gelbe Ellipse angedeutet, die den Einheitskreis um
den Nordpol darstellt. Die Geraden
AA*, BB* und CC* schneiden diese Tangentialebene in den
Punkten
A1, B1 und C1. Das Dreieck aus diesen Punkten ist nur dann euklidisch rechtwinklig, wenn
Z mit dem Südpol der Kugel zusammenfällt. Wenn Z auf der Geraden zwischen den Polen im Innern
der Kugel liegt, ist das Dreieck elliptisch rechtwinklig, wenn Z außerhalb der Kugel liegt, ist es
hyperbolisch rechtwinklig. Das Dreieck
A1 B1 C1 ist oben links mit den Seitenmaßen angegeben,
die sich im Rahmen der elliptischen bzw. euklidischen bzw. hyperbolischen Geometrie ergeben.

Bei der Veränderung der Lage von Z bleiben die Punkte
A1 und B1 und die euklidische Winkelgröße
des Winkels bei B unverändert, aber
C1 wird verschoben, um zu sichern, dass der Winkel zwischen
den Kreisen
b und a weiterhin die euklidische Größe 90° hat.

Oben rechts wird das Bild des Kugelkreis-Dreiseits
a b c bei der stereographischen Projektion mit
dem Zentrum im Südpol und der Tangentialebene im Nordpol als Bildebene angegeben. Der Bildpunkt
eines Punktes P auf der Kugel ist also der Schnittpunkt der Tangentialebene im Nordpol mit der Geraden
durch P und den Südpol. Bei dieser stereographischen Zentral-Projektion werden Kugelkreise auf
Kreise in der Tangentialebene abgebildet, wobei die Schnittwinkel-Größen der Kreise auf der Kugel
mit denen der Bildkreise in der Ebene euklidisch übereinstimmen. Die Bildkreise von
a und b schneiden
sich also euklidisch rechtwinklig. Die Seiten des Dreiecks der Bilder von
A, B und C sind hier nach außen
gewölbt, wenn Z zwischen dem Nord- und Südpol liegt, und nach innen, wenn sich Z außerhalb der
Kugel befindet. Darum ist die euklidische Innenwinkel-Summe des Kreis-Dreiseits im elliptischen Fall
größer als 180° und im hyperbolischen kleiner als 180°. Für Z im Südpol werden die Kreise zu Geraden
und die euklidische Winkelsumme gleich 180°.

Während die Abwandlung der Kugelkreis-Geometrie oben links sich am Beltrami-Klein-Modell der
ebenen hyperbolischen Geometrie orientiert, entspricht das Bild oben rechts dem Poincaré-Modell
der ebenen hyperbolischen Geometrie. Wir nennen diese Abwandlungen der Kugelkreis-Geometrie
auch dann 'Klein-Modell' bzw. 'Poincaré-Modell' im Gegensatz zum üblichen Sprachgebrauch, wenn
Z im Innern oder auf der Kugelfläche liegt und in der dargestellte Geometrie darum Winkel und
Seitenlängen mit einem elliptischen bzw. euklidischen Maß gemessen werden.

Die Werte für Größen von Winkeln stimmen im Klein- und im Poincaré-Modell mit den euklidischen
Größen der entsprechenden Winkel zwischen Kugelkreisen überein, auch dann, wenn Z nicht auf der
Kugelfläche liegt. Die Maß-Bestimmung für Seitenlängen ist jedoch komplizierter. Das zeigt sich schon
daran, dass einem Punkt im Klein-Modell ein Punkte-Paar im Poincaré-Modell entspricht, weil bei der
stereographischen Projektion z. B.
A und A* in verschiedene Punkte abgebildet werden, während bei
der Projektion mit dem Zentrum Z sowohl
A als auch A* in A1 abgebildet werden. Unter einem 'Punkt'
im Poincare-Modell muss man darum ein Punkte-Paar verstehen. Entsprechend bezeichnen wir das
Punkte-Paar (
A , A*) auch als 'Punkt' (in Anführungsstrichen und violett). Bei vorgegebenem Punkt Z
kommt man dadurch zu einem weiteren Modell der elliptischen, euklidischen oder hyperbolischen
Geometrie durch folgende Definition: Ein
'Punkt' dieses Modells ist ein Paar zweier verschiedener
Punkte auf der Kugelfläche, deren Verbindungsgerade durch Z geht. Eine
'Gerade' dieses Modells ist
ein Kreis auf der Kugelfläche, der in einer Ebene durch Z liegt. Wir nennen dieses Modell 'Kugelkreis-
Modell zu Z'. Winkel werden darin euklidisch gemessen. Die Messung des Abstands zweier
'Punkte'
wird im Folgenden erklärt. Um die 'Geraden' und 'Punkte' des Kugelkreis-Modells von den gewöhnlichen
Punkten und Geraden zu unterscheiden, benutzen wir im Folgenden die violette Farbe für Kugelkreise in
einer Ebene durch Z. Wir verwenden also z. B. die Bezeichnungen Z-
'Mittelsenkrechte', Z-'Seitenhalbierende',
Z-
'Winkelhalbierende' und Z-'Höhe':

Im Fall, dass Z zwischen Nord- und Südpol liegt, also für das Dreieck
A1 B1 C1 eine elliptische
Maß-Bestimmung anzuwenden ist, ergeben sich die Maße der Abstände in folgender Weise:
Zu dem Zentral-Punkt Z gehört ein Maßpunkt Z', der zwischen Kugelmittelpunkt N und Z liegt und
in der Animation zeitweise als großer orangefarbiger Punkt eingezeichnet wurde. Wenn r > 0 der
euklidische Abstand von N und Z ist, dann ist der euklidische Abstand von N und Z'.
Für r = 0 fallen N, Z und Z' zusammen. Neben Z' benutzen wir zur Maßbestimmung die Polarebene
von Z. Sie ist zeitweise durch einen zweiten gelben Einheitskreis unterhalb des gelben Kreises der
Tangentialebene des Nordpols in der Animation angedeutet. Der Abstand dieser Polarebene von N
ist der Kehrwert des Abstands des Punktes Z vom Kugelmittelpunkt. N. Die Schnittpunkte
A2 , B2 und C2 der Geraden AA*, BB* und CC* mit der Polarebene von Z sind in der Animation
eingezeichnet. Die Kugelflächen mit den Mittelpunkten
A2 , B2 und C2 , welche die Kugelfläche
um N senkrecht schneiden, haben den Maßpunkt Z' als gemeinsamen Punkt. Die Seitenlänge, die im
Bild oben links z. B. für die blaue Seite
A1 B1 angegeben wird, ist die euklidische Winkelgröße des
Winkels
A2 Z' B2 im Bogenmaß. Diese Zahl wird auch als Abstand der 'Punkte' (A , A*) und (B , B*)
benutzt, und auch für ihre Entsprechung im Poincare-Modell. Analoges gilt für die andern Seiten. Die
Begründung für dieses etwas komplizierten Verfahrens besteht darin, dass bei dieser Maßbestimmung
Abstände zwischen zwei
'Punkten' im Kugelkreis-Modell zu Z bei Spiegelungen an den Kugelkreisen
invariant bleiben, die
'Geraden' dieses Modells sind. Fällt Z speziell mit N zusammen, dann ergibt sich
die elliptische Geometrie der Großkreise auf der Kugel.
A2 , B2 und C2 sind dann unendlich ferne Punkte.


Im Fall, dass Z im Südpol liegt, fallen alle Punkte
A*, B* , C* , A2 , B2 und C2 mit dem Südpol zusammen.
A1 , B1 und C1 sind dann die Bilder von A, B und C bei der stereographischen Projektion und bilden
ein euklidisch rechtwinkliges Dreieck. Die Seiten-Maßzahlen im Bild oben links sind dann die euklidischen
Seitenlängen.

Im Fall, dass Z außerhalb der Kugel liegt, schneidet die Polarebene von Z die Kugel. Die Gerade durch
A2 und B2 hat dann mit der Kugel zwei Punkten D und E gemeinsam. Die Seiten-Maßzahl im Bild oben
links ist dann die Hälfte vom natürlichen Logarithmus des Doppelverhältnisses
.
(Dabei ist z. B. die euklidische Länge der durch
A2 und C bestimmten Strecke.)
Dies ist die gleiche Maß-Bestimmung wie im Beltrami-Klein-Modell. Auch hier sind die Abstände zwischen
zwei
'Punkten' im Kugelkreis-Modell zu Z bei Spiegelungen an den Kugelkreisen invariant, die 'Geraden'
des Modells sind.

Für das rechtwinklige Dreieck
A1 B1 C1 folgt im Fall, dass Z der Südpol ist, der Satz von Pythagoras.
Wenn Z im Innern der Kugel liegt, ist das Produkt der Cosinus-Werte der Katheten-Maßzahlen gleich
dem Cosinus-Wert der Hypothenusen-Maßzahl. Im hyperbolischen Fall muss man die Cosinus-Werte
durch die Cosinus-hyperbolicus-Werte ersetzen. Diese Cosinus- bzw. Cosinus-hyperbolicus-Werte
lassen sich nach einem einfachen algebraischen Verfahren aus den Koordinaten der Punkte
A2, B2 und
C2 bestimmen. Wenn und die Koordinaten von A2 und B2 sind, dann
ist im elliptischen Fall der Cosinus-Werte des Abstands von
A1 und B1 gleich
.
Im hyperbolischen Fall ist der entsprechende Cosinus-hyperbolicus-Wert gleich
.



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