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Spiegelungen 2

Geometrie 1 > Kreise auf der Kugel

Hintereinanderschaltungen von Spiegelungen
elliptisch, euklidisch, hyperbolisch

Der schwarz gezeichnete Umriss der Ziege wird hier an den Kugelflächen-Kreisen a, b und c
gespiegelt. Oben links bzw. rechts wird das zugehörige Bild im Klein- bzw. Poincare-Modell
gezeigt, das durch Zentralprojektion auf die Tangentialebene im Nordpol mit dem Zentrum im
gelb umrandeten Punkt Z bzw. im Südpol entsteht. Für Z innerhalb bzw. auf bzw. außerhalb
der Kugelfläche sind die Spiegelungen an den Geraden im Klein-Modell elliptisch bzw. euklidisch
bzw. hyperbolisch. Im Poincare-Modell ergeben sich in jedem Fall Spiegelungen.an euklidischen
Kreisen. Die Wirkung einer Hintereinanderschaltung zweier Spiegelungen zeigt sich an dem
Zusammenhang zwischen der roten, grünen und blauen Ziege. Diese Bilder gehen durch eine
Drehung um Dreiecks-Eckpunkte auseinander hervor.

Der zeitweise sichtbare schwarze Kugelflächen-Kreis hat Z als Pol. Er ist orthogonal zu
a, b und c.
Sein Bild im Klein-Modell gibt im hyperbolischen Fall die äußere Begrenzung der Punktmenge des
Modells an.

Die Spiegelbilder der Ziege erscheinen im Klein- und im Poincare-Modell nur dann unverzerrt, wenn
Z im Südpol liegt. Die Abstands-Bestimmung zweier Punkte ist aber auch im elliptischen und im
hyperbolischen Fall so definiert, dass die elliptischen bzw. hyperbolischen Abstände im Bild der
Ziege mit dem im Spiegelbild übereinstimmen.


Die Animation stellt Drehungen um den Punkt A als Hintereinanderschaltung der Spiegelungen
an dem festen Kugelflächen-Kreis
g und dem bewegten Kreis h dar. Die Ebenen dieser beiden
Kreise gehen durch den gelb umrandeten Punkt Z, der verschiedene Orte der z-Achse durchläuft.
Die zwischen
g und h angezeigte Winkelgröße gilt auch für das Klein-Modell und das Poincare-
Modell, unterscheidet sich aber beim Klein-Modell von der euklidischen Winkelgröße, es sei denn,
dass Z mit dem Südpol zusammenfällt. Die Winkel sind hier 'modulo 180° ' angegeben; das heißt,
dass z. B. die Winkelgröße -60° mit der Größe 120° identifiziert wird. Die Größe des Winkels
zwischen
g und h stimmt (euklidisch) mit der zwischen den Geraden durch A und den Polen von
g und h überein. Der Pol von h bewegt sich bei der Drehung auf der zur Geraden AZ polaren
Geraden. Diese Gerade liegt in der zum Punkt Z polaren Ebene durch den zeitweise sichtbaren
schwarzen Kugelflächen-Kreis, der zu
g und h orthogonal ist. Dieser schwarze Kreis bestimmt im
hyperbolischen Fall den Rand des Klein-Modells.

Die blaue Ziege erscheint gegenüber der schwarzen um einen Winkel gedreht, der doppelt so groß
ist wie der Winkel zwischen
g und h. Das bedeutet, dass z. B. die Z-Kugelflächen-Kreise durch A
und die Schwanzspitze bei der schwarzen und der blauen Ziege einen doppelt so großen Winkel
einschließen, wie zwischen
g und h angezeigt wird.



Die beiden dunkelblauen Kugelflächen-Kreise g und h sind hier orthogonal zu dem hellblauen
Kugelflächen-Kreis
j. Die Hintereinanderschaltung der Spiegelungen an g und h ergibt dann im
euklidischen Fall eine Translation. Im Klein-Modell oben links wird dies an der Verschiebung der
Ziege parallel zum Projektionsbild
j' von j deutlich, falls der gelb umrandete Punkt Z im Südpol der
Kugel liegt.

Im hyperbolischen Fall, also wenn Z außerhalb der Kugel liegt, wird die Ziege im Klein-Modell so
bewegt, dass der hyperbolische Abstand von
j' unverändert bleibt. Auch die hyperbolischen Abstände
zwischen entsprechenden Punkten im Bild der Ziege bleiben bei der Hintereinanderschaltung der
Spiegelungen an
g und h unverändert, obwohl die euklidische Bildgröße bei Annäherung an den schwarzen
Kreis immer kleiner wird.

Entsprechendes gilt im elliptischen Fall, wenn also Z im Innern der Kugel liegt. Die Hintereinanderschaltung
der Spiegelungen an
g und h ist dann eine Drehung um die Schnittpunkte der Geraden durch Z und den Pol
von
j mit der Kugelfläche. Falls g orthogonal zu h ist, hat sie im Klein-Modell die gleiche Wirkung wie die
Spieglung an
j'. Darum erscheint das verschobene Bild der Ziege auf beiden Seiten von j'.

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