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konvexe Mengen

Geometrie 2 > Drehpunktfunktion

Konvexe Mengen und Drehpunktfunktion
--> Erklärung zur Drehpunktfunktion (http://www.vivat-geo.de/Pdf-Dateien/Drehpunktfunktion.pdf)

Drehpunktfunktion f(a) = a - p
Die blaue Drehpunktkurve ist hier ein Kreis. Die rote Kurve entsteht
folgendermaßen: Auf der (hier nicht gezeichneten) Geraden, die sich durch Verlängerung des Pfeils ergibt,
ist ein Maßstab fixiert mit der Null in der Mitte des Pfeils. Die Werte des Maßstabs seien mit s bezeichnet.
Der rote Punkt befindet sich an der Stelle s =
p. Die rote Kurve ist die Spur dieses Punktes. Wir nennen sie
'zur Drehpunktfunktion f gehörige s-Kurve ' . Sie wird durch
beschrieben. Die hier gezeichnete
p-Kurve ist eine Kreisevolvente. Sie ist keine geschlossene Kurve.



Drehpunktfunktion für
Durch die Addition des Terms 2sin(
a) zu a - p wurde erreicht, dass gilt und darum die
zu f gehörige
p-Kurve eine geschlossene Kurve ist, die eine konvexe Menge umschließt, das heißt eine Menge
von Punkten, die mit zwei Punkten stets die ganze Verbindungsstrecke enthält. Die Drehpunktfunktion wird durch

auf die Menge aller reeller Zahlen so fortgesetzt, dass f(
a + 2p) = f(a) gilt für alle reellen a.



Drehpunktfunktion für
Diese Animation zeigt, dass sich die
p-Kurve von f als Hüllkurve der hellgrün gezeichneten Kurven
ergibt. Dazu wurde f dargestellt durch die Summe der Funktionen und mit besonderen Eigenschaften.
und .
hat die Eigenschaft, dass gleich Null ist, während für f nur gilt. hat die
Periode
p. Die mandelförmige rote Kurve ist die 0,5p-Kurve von , die hellgrünen Kurven entstehen durch
Verschiebung der 0,5
p-Kurve von . Die p-Kurve von f ist also Minkowski-Summe der 0,5p-Kurven von
und von . Die 0,5
p-Kurve von ist punktsymmetrisch. Die 0,5p-Kurve von ist eine Kurve mit
konstanter Breite. Alle umschließenden Rechtecke sind also Quadrate mit gleicher Seitenlänge.



Drehpunktfunktion
Die 0,5
p-Kurve hat konstante Breite.


Drehpunktfunktion
Die 0,5
p-Kurve von ist punktsymmetrisch. Die hellgrünen Kurven entstehen durch Verschiebung
der 0,5
p-Kurve von . Ihre Hüllkurve ist die p-Kurve von f.




Drehpunktfunktion
Die 0,5
p-Kurve von ist die Hüllkurve der hellgrün gezeichneten Kurven. wurde dazu zerlegt in

und
hat die Periode 0,5
p. Die kleine rote Kurve ist die 0,25p-Kurve von , die hellgrünen Kurven entstehen
durch Verschiebung der 0,25
p-Kurve von . Die p-Kurve von ist also Minkowski-Summe der
0,25
p-Kurven von und von . Die 0,25p-Kurve von geht bei Drehung um 45° in sich über.
. Die 0,25
p-Kurve von hat die Eigenschaft, dass für alle a die Summe der Breiten in Richtung a
und
a + 90° gleich ist.. Alle umschließenden Rechtecke haben darum die gleiche Umfangslänge.



Drehpunktfunktion
Die 0,25
p-Kurve von hat die Eigenschaft, dass für alle a die Summe der Breiten in Richtung a
und
a + 90° gleich ist.. Alle umschließenden Rechtecke haben darum die gleiche Umfangslänge.


Drehpunktfunktion
Die 0,5
p-Kurve von ist Minkowski-Summe der 0,25p-Kurven von und von .
Da die
p-Kurve von f Minkowski-Summe der 0,5p-Kurven von und ist, lässt sie sich
auch als Minkowski-Summe 0,5
p-Kurve von und den 0,25p-Kurven von und
darstellen, also von zwei Kurven, für die umschließende Rechtecke alle die gleiche Umfangslänge
haben, und einer Kurve, die bei Drehung um 45° in sich übergeht. Durch Fortführung dieses
Aufspaltungsverfahrens kann die
p-Kurve von f als Grenzwert einer Reihe von s-Kurven dargestellt
werden, bei denen die umschließende Parallelogramme mit Innenwinkel alle die gleiche Umfangslänge haben..

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